Question

2．在Rt△ABC中，F为AE的中点，AC⊥AE．求证：∠ABC=∠EAD．

Answer 1

分析 如图，过A作AH⊥CD于H，连接BH，BF，根据已知条件推出△AFH∽△CFA，由相似三角形的性质得到$\frac{AF}{HF}=\frac{CF}{AF}$，根据直角三角形的性质得到BF=AF=$\frac{1}{2}$AE，于是得到BF：HF=CF：BF，证得△BFH∽△CFB，求得∠FHB=∠FBC，推出A，B，D，H四点共圆，根据圆周角定理得到∠BAD=∠FHB=∠FBC，由于∠BAF=∠ABF，于是得到∠BAF-∠BAD=∠ABF-∠FBC，即可得到结论．

解答 解：如图，过A作AH⊥CD于H，连接BH，BF，
∵∠CAE=90°AH⊥CF，
∴△AFH∽△CFA，
∴$\frac{AF}{HF}=\frac{CF}{AF}$，
∵F为AE的中点，∠ABE=90°，
∴BF=AF=$\frac{1}{2}$AE，
∴BF：HF=CF：BF，
∴△BFH∽△CFB，
∴∠FHB=∠FBC，
∵∠ABD=∠AHD=90°，
∴A，B，D，H四点共圆，
∴∠BAD=∠FHB=∠FBC，
∵∠BAF=∠ABF，
∴∠BAF-∠BAD=∠ABF-∠FBC，
即∠EAD=∠ABC，
∴∠ABC=∠EAD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．