【题目】如图,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,边BC是⊙0的切线,切点为D,AB经过圆心O并与圆相交于点E,连接AD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若AC=8,tan∠DAC= ,求⊙O的半径.
【答案】
(1)
证明:连接OD,
∵BC是⊙O的切线,
∴OD⊥BC,又∠C=90°,
∴OD∥AC,
∴∠ODA=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD=∠CAD,即AD平分∠BAC
(2)
解:连接CE,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∵∠OAD=∠CAD,tan∠DAC= ,
∴tan∠EAD= ,
∵tan∠DAC= ,AC=8,
∴CD=6,
由勾股定理得,AD= =10,
∴ = ,
解得,DE= ,
∴AE= = ,
∴⊙O的半径为 .
【解析】(1)连接OD,根据切线的性质得到OD⊥BC,根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明;(2)连接CE,根据正切的定义和勾股定理求出AD,根据正切的定义计算即可.
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点(不与点B,C,D重合),AM,AN分别交BD于点E,F,且∠MAN始终保持45°不变.
(1)求证: = ;
(2)求证:AF⊥FM;
(3)请探索:在∠MAN的旋转过程中,当∠BAM等于多少度时,∠FMN=∠BAM?写出你的探索结论,并加以证明.
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【题目】若将一幅三角板按如图所示的方式放置,则下列结论中不正确的是( )
A. ∠1=∠3 B. 如果∠2=30°,则有AC∥DE
C. 如果∠2=30°,则有BC∥AD D. 如果∠2=30°,必有∠4=∠C
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【题目】如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,E为边CB延长线上一点,联结DE交边AB于点F,联结AC交DE于点G,且 = .
(1)求证:AB∥CD;
(2)如果AD2=DGDE,求证: = .
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【题目】如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正确结论的序号是 .
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【题目】如图,直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E,F,已知点E的坐标为(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0).
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)是该直线上的一个动点,且在第二象限内运动,试写出△OPA的面积S关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(3)探究:当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为,并说明理由.
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【题目】如图,将矩形纸片ABCD(图1)按如下步骤操作:(1)以过点A的直线为折痕
折叠纸片,使点B恰好落在AD边上,折痕与BC边交于点E(如图2);(2)以过点E的
直线为折痕折叠纸片,使点A落在BC边上,折痕EF交AD边于点F(如图3);(3)将纸
片收展平,那么∠AFE的度数为 ( )
A. 60° B. 67.5° C. 72° D. 75°
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【题目】如图,已知BD为△ABC的角平分线请按如下要求操作与解答:
(1)过点D画DE∥BC交AB于点E.若∠A=68°,∠AED=42°,求△BCD各内角的度数;
(2)画△ABC的角平分线CF交BD于点M,若∠A=60°,请找出图中所有与∠A相等的角,并说明理由.
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