Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的O交BC于D，点E为AC的中点，连接DE．

(1)求证：DE是O的切线；

(2)若∠BAD=50°，AC=6,CD=4,求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD,DA，利用直角三角形的性质证明，利用等腰三角形的性质可得结论；

（2）证明△ADC∽△BAC，求解圆的半径，利用S阴影＝S四边形OAED－S扇形AOD可得答案．

解：（1）连接OD,DA

∵AB是O的直径，

∴∠BDA=∠CDA=90°

∵点E是AC的中点

∴在Rt△ACD中，DE=AE,

∴∠EDA=∠DAE

∵OD=OA

∴∠OAD=∠ODA

又∵∠BAC=90°

∴∠EDA+∠ODA=∠DAE+∠OAD=90°

即∠ODE=90°

∴OD⊥DE

又∵点D在O上

∴DE是O的切线·

（2）由题知∠ADC=∠BAC=90°，∠C=∠C

∴△ADC∽△BAC

∴，即

∴BC=9

在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=

∴OA=，

连接

S四边形OAED

∵OA=OD,DE=AE=3

∴S四边形OAED

又∵弧BD所对圆周角为50°

∴∠BOD=100°，则∠AOD=80°

∴S扇形AOD

∴S阴影＝S四边形OAED－S扇形AOD