Question

【题目】如图，抛物线C1：y＝（x+）2，平移抛物线y＝﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2，抛物线C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．

（1）当OC＝2时，求抛物线C2的解析式；

（2）在抛物线的C2的对称轴上是否存在一点P，使得AP+CP的长最短？若存在，求出点P的坐标（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，连接OP，若OP⊥BC，求此时a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点P（a，a+）；（3）a＝．

【解析】

（1）抛D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，则点D[a，（a）2]，则抛物线C2的表达式为：y=﹣（x﹣a）2+（a）2=﹣x2+2ax+（a），即可求解；

（2）点B是点A关于对称轴的对称点，则BC交函数对称轴于点P，点P为所求点，即可求解；

（3）OP⊥BC，直线BC的表达式为：yx+（a），则直线OP的表达式中的k值为2，即可求解．

（1）抛D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，则点D[a，（a）2]，则抛物线C2的表达式为：y=﹣（x﹣a）2+（a）2=﹣x2+2ax+（a），OC=2=a，解得：a，故抛物线的表达式为：y=﹣x2x+2；

（2）点B是点A关于对称轴的对称点，则BC交函数对称轴于点P，点P为所求点．

点A（，0），则点B（2a，0），点C（0，a），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：yx+（a），当x=a时，ya，故点P（a，a）；

（3）OP⊥BC，直线BC的表达式为：yx+（a），则直线OP的表达式中的k值为2，即：2，解得：a．