Question

【题目】如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．若已知点的坐标为．点在抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，点的坐标为________．

Answer 1

【答案】，，

【解析】

首先求出抛物线解析式，然后利用配方法或利用公式x=-求出对称轴方程，由此可设可设点Q（3，t），若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．

∵抛物线y=-x2+bx+4的图象经过点A（-2，0），

∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0，

解得：b=，

∴抛物线解析式为 y=-x2+x+4，

又∵y=-x2+x+4=-（x-3）2+，

∴对称轴方程为：x=3，

∴可设点Q（3，t），则可求得：

AC=，

AQ=，

CQ=．

i）当AQ=CQ时，

有=，

即25+t2=t2-8t+16+9，

解得t=0，

∴Q1（3，0）；

ii）当AC=AQ时，

有=2，

即t2=-5，此方程无实数根，

∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；

iii）当AC=CQ时，

有2=，

整理得：t2-8t+5=0，

解得：t=4±，

∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4-）．

综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．

故答案为：（3，0），（3，4+），（3，4-）．