【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.
(1)求抛物线解析式及点D坐标;
(2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;
(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1),点D坐标为(3,2)(2)P1(0,2);P2(,﹣2);P3(,﹣2)(3)存在,(),()
【解析】
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,
∴,解得:.
∴抛物线解析式为.
当y=2时,,解得:x1=3,x2=0(舍去).
∴点D坐标为(3,2).
(2)A,E两点都在x轴上,AE有两种可能:
①当AE为一边时,AE∥PD,∴P1(0,2).
②当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,可知P点、D点到直线AE(即x轴)的距离相等,∴P点的纵坐标为﹣2.
代入抛物线的解析式:,解得:.
∴P点的坐标为(,﹣2),(,﹣2).
综上所述:P1(0,2);P2(,﹣2);P3(,﹣2).
(3)存在满足条件的点P,显然点P在直线CD下方.
设直线PQ交x轴于F,点P的坐标为(),
①当P点在y轴右侧时(如图1),CQ=a,
PQ=.
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠COQ′=∠Q′FP=90°,
∴∠FQ′P=∠OCQ′,∴△COQ′∽△Q′FP,
∴,即,解得F Q′=a﹣3
∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣(a﹣3)=3,
.
此时a=,点P的坐标为().
②当P点在y轴左侧时(如图2)此时a<0,,<0,CQ=﹣a,(无图)
PQ=.
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠CQ′O+∠OCQ′=90°,
∴∠FQ′P=∠OCQ′,∠COQ′=∠Q′FP=90°.
∴△COQ′∽△Q′FP.
∴,即,解得F Q′=3﹣a.
∴OQ′=3,.
此时a=﹣,点P的坐标为().
综上所述,满足条件的点P坐标为(),().
(1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D的坐标.
(2)分两种情况进行讨论,①当AE为一边时,AE∥PD,②当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标.
(3)结合图形可判断出点P在直线CD下方,设点P的坐标为(),分情况讨论,①当P点在y轴右侧时,②当P点在y轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可.
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【题目】矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示,A、C两点的坐标分别为A(6,0)、C(0,3),直线y=x与BC边相交于D.
(1)求点D的坐标:
(2)若抛物线y=ax+bx经过D、A两点,试确定此抛物线的表达式:
(3)P为x轴上方(2)题中的抛物线上一点,求△POA面积的最大值.
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【题目】正六边形ABCDEF的边长1,请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中,画出一条长度为的线段;
(2)在图2中,画出一条长度为的线段,并说明理由.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E,交AC于点C,使∠BED=∠C.
(1)判断直线AC与圆O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AC=8,cos∠BED=,求AD的长.
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【题目】2019年5月,以“寻根国学,传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强一国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕,小明晋级了总决赛.比赛过程分两个环节,参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.
第一环节:写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用表示);
第二环节:成语听写、诗词对句、经典通读(分别用表示)
(1)请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果
(2)求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目(成语故事、成语接龙、成语听写)的概率。
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,函数的图象G经过点,直线与y轴交于点B,与图象G交于点C.
(1)求m的值.
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,C之间的部分与线段BA,BC围成的区域(不含边界)为W.
①当直线l过点时,直接写出区域W内的整点个数.
②若区域W内的整点不少于4个,结合函数图象,求k的取值范围.
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【题目】下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程.
已知:线段,及∠O .
求作:△ABC,使得线段,及∠O分别是它的两边和一角.
作法:如图,
①以点O为圆心,长为半径画弧,分别交∠O的两边于点M ,N;
②画一条射线AP,以点A为圆心,长为半径画弧,交AP于点B;
③以点B为圆心,MN长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点D;
④画射线AD;
⑤以点A为圆心,长为半径画弧,交AD于点C;
⑥连接BC ,则△ABC即为所求作的三角形.
请回答:
(1)步骤③得到两条线段相等,即 = ;
(2)∠A=∠O的作图依据是 ;
(3)小红说小明的作图不全面,原因是 .
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线﹔与轴交于点,抛物线的顶点为,直线.
(1)当时,画出直线和抛物线,并直接写出直线被抛物线截得的线段长.
(2)随着取值的变化,判断点是否都在直线上并说明理由.
(3)若直线被抛物线截得的线段长不小于3,结合函数的图像,直接写出的取值范围.
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