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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+2x轴于A﹣10),B40)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.

1)求抛物线解析式及点D坐标;

2)点Ex轴上,若以AEDP为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;

3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】1,点D坐标为(32)(2P102);P2﹣2);P3﹣2)(3)存在,(),(

【解析】

解:(1抛物线y=ax2+bx+2经过A﹣10),B40)两点,

,解得:

抛物线解析式为

y=2时,,解得:x1=3x2=0(舍去).

D坐标为(32).

2AE两点都在x轴上,AE有两种可能:

AE为一边时,AE∥PD∴P102).

AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,可知P点、D点到直线AE(即x轴)的距离相等,∴P点的纵坐标为﹣2

代入抛物线的解析式:,解得:

∴P点的坐标为(﹣2),(﹣2).

综上所述:P102);P2﹣2);P3﹣2).

3)存在满足条件的点P,显然点P在直线CD下方.

设直线PQx轴于F,点P的坐标为(),

P点在y轴右侧时(如图1),CQ=a

PQ=

∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°∠COQ′=∠Q′FP=90°

∴∠FQ′P=∠OCQ′∴△COQ′∽△Q′FP

,即,解得F Q′=a﹣3

∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣a﹣3=3

此时a=,点P的坐标为().

P点在y轴左侧时(如图2)此时a0,,0CQ=﹣a,(无图)

PQ=

∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°∠CQ′O+∠OCQ′=90°

∴∠FQ′P=∠OCQ′∠COQ′=∠Q′FP=90°

∴△COQ′∽△Q′FP

,即,解得F Q′=3﹣a

∴OQ′=3

此时a=﹣,点P的坐标为().

综上所述,满足条件的点P坐标为(),().

1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D的坐标.

2)分两种情况进行讨论,AE为一边时,AE∥PDAE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标.

3)结合图形可判断出点P在直线CD下方,设点P的坐标为(),分情况讨论,P点在y轴右侧时,P点在y轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可.

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