【题目】在中,以
为斜边,作直角
,使点
落在
内,
.
(1)如图1,若,
,
,点
分别为
边的中点,连接
,求线段
的长;
(2)如图2,若,把
绕点
逆时针旋转一定角度,得到
,连接
并延长交
于点
,求证:
.
【答案】(1)6;(2)见详解.
【解析】
(1)在直角三角形中,利用锐角三角函数求出AB,由中位线定理即可得到PM;
(2)先利用等角的余角相等判断出∠BDP=∠PEC,得到△BDP和△CEQ全等,再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC,即可得到结论成立;
(1)解:∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,AD=,
∴cos∠BAD=,
∴AB=,
∴AC=AB=12,
∵点P、M分别为BC、AB边的中点,
∴PM=AC=6;
(2)如图2,在ED上截取EQ=PD,
∵∠ADB=90°,
∴∠BDP+∠ADE=90°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ACE,
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵∠AED+∠PEC=90°,
∴∠BDP=∠PEC,
在△BDP和△CEQ中,
,
∴△BDP≌△CEQ,
∴BP=CQ,∠DBP=∠QCE,
∵∠CPE=∠BDP+∠DBP,∠PQC=∠PEC+∠QCE,
∴∠EPC=∠PQC,
∴PC=CQ,
∴BP=CP.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)请直接写出点A,C,D的坐标;
(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;
(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,抛物线上有一动点P
(1)若A(﹣2,0),C(0,﹣4)
①求抛物线的解析式;
②在①的情况下,若点P在第四象限运动,点D(0,﹣2),以BD、BP为邻边作平行四边形BDQP,求平行四边形BDQP面积的取值范围.
(2)若点P在第一象限运动,且a<0,连接AP、BP分别交y轴于点E、F,则问 是否与a,c有关?若有关,用a,c表示该比值;若无关,求出该比值.
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【题目】朝天门,既是重庆城的起源地,也是“未来之城”来福士广场的停泊之地,广场上八幢塔楼临水北向、错落有致,宛如轮扬帆起航,成为我市新的地标性建筑—“朝大杨帆”、来福士广场塔楼核芯筒于
年
月
日完成结构封顶,高度刷新了重庆的天际线,小明为了测量
的高度,他从塔楼底部
出发,沿广场前进
米至点
,继而沿坡度为
的斜坡向下走
米到达码头
,然后在浮桥上继续前行
米至巡船
,在
处小明操作无人勘测机,当无人勘测机飞行至点
的正上方点
时,测得码头
的俯角为
、楼顶
的仰角为
,点
、
、
、
、
、
、
在同一平面内,则
塔楼
的高度约为多少?(结果精确到
米,参考数据:
,
,
,
)
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【题目】为测量大楼的高度,从距离大楼底部
30米处的
,有一条陡坡公路,车辆从
沿坡度
,坡面长13米的斜坡到达
后,观测到大楼的顶端
的仰角为30°,则大楼的高度为( )米.
(精确到0.1米,,
)
A.26.0B.29.2C.31.1D.32.2
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【题目】在中,
,
是
边上的中线,点
在射线
上.
猜想:如图①,点在
边上,
,
与
相交于点
,过点
作
,交
的延长线于点
,则
的值为 .
探究:如图②,点在
的延长线上,
与
的延长线交于点
,
,求
的值.
应用:在探究的条件下,若,
,则
.
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【题目】如图,一座钢结构桥梁的框架是△ABC,水平横梁BC长18米,中柱AD高6米,其中D是BC的中点,且AD⊥BC.
(1)求sinB的值;
(2)现需要加装支架DE、EF,其中点E在AB上,BE=2AE,且EF⊥BC,垂足为点F,求支架DE的长.
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【题目】问题:(1)如图①,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为 ;
探索:(2)如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;
应用:(3)如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.
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【题目】第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行,据了解,该赛事每四年举办一届,是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会.其中,花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行.如图,钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一,是郑大的“第一高度”,寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚.小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°,小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为30°,此时,两人的水平距离EC为38m.已知教学楼三楼所在的高度为10m,根据测得的数据,计算钟楼AB的高度.(结果保留整数.参考数据:sin53°≈,cos53°≈
,tan53°≈
,
≈1.73)
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