Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，E是AB延长线上一点，且BE=AB，求证：
（1）CE=2CD； 
（2）CB平分∠DCE．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由条件可得出

AC

AE

=

AD

AC

，结合公共角A，可证明△ACD∽△AEC，再由线段比为

1

2

，可得出结论；
（2）由（1）相似可得到∠ACD=∠E，结合等腰三角形的底角相等，可得到∠BCE=∠DCB．

解答：证明：（1）∵BE=AB，
∴AE=AB+BE=2AB=2AC，
又∵D是AB的中点，
∴AE=2AD，
故

AC

AE

=

AD

AC

=

1

2

，
又∵∠A是公共角，
∴△ACD∽△AEC，
∴

CD

CE

=

AD

AC

=

1

2

，
即CE=2CD；

（2）∵△ACD∽△AEC，
∴∠ACD=∠E，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，
∠ABC=∠BCE+∠E，
所以∠BCE=∠DCB，
即CB平分∠DCE．

点评：本题主要考查三角形相似的判定和性质，利用条件得出线段成比例是解题的关键．