Question

【题目】如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)、点C(8，0)两点，与y轴交于点A．

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接AC、AB，若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

(3)连接OM，在(2)的结论下，线段AC上有一动点P，连接PM，求PM＋PC的值最小时，点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；(2) N（3，0）； (3) P(1，) ．

【解析】

（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；

（3）过点PD⊥x轴于点D，点E为M关于AC的对称点，作EF⊥x轴于点F，则PM＋PC的最小值即为EF的长．求出直线AC的解析式，并证明,再由（2）知，利用中点公式可得E的坐标，再将点E的横坐标代入直线AC，从而得解．

（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，

解得，

∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4；

（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．

∵B（﹣2，0），C（8，0），

∴BC=10，

在y=﹣x2+x+4中，令x=0，可解得y=4，

∴点A（0，4），OA=4，

∴S△ABN=BNOA=（n+2）×4=2（n+2），

∵MN∥AC，

∴

∴

∴

∵﹣＜0，

∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；

（3）如图，过点PD⊥x轴于点D，点E为M关于AC的对称点，作EF⊥x轴于点F，

,易得，当E、P、D三点共线时，可知PM＋PC的最小值即为EF的长．

由（2）可得M(-1,2),

由A(0,4)，B(-2,0),C(8,0),得直线AC:

在中，，

，

即是直角三角形，且,

∵M,E关于AC对称，

∴A（0，4）是ME的中点，由中点坐标公式得，

∴点P横坐标是1，代入，得y=,

则P(1，) ．