Question

【题目】如图，点A1（1，）在直线l1：y=x上，过点A1作A1B1⊥l1交直线l2：y=x于点B1，A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，…按此规律进行下去，则第2019个等边三角形的面积为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由点A1的坐标可得出OA1=2，根据直线l1、l2的解析式结合解直角三角形可求出A1B1的长度，由等边三角形的性质可得出A1A2的长度，进而得出OA2=3，通过解直角三角形可得出A2B2的长度，同理可求出AnBn的长度，再根据等边三角形的面积公式即可求出第n个等边三角形AnBnCn的面积，即可解答．

∵点A1 (1, )，

∴OA1=2.

∵直线l1:y=x,直线l2:y= x，

∴∠A1OB1=30°.

在Rt△OA1B1中,OA1=2,∠A1OB1=30°,∠OA1B1=90°，

∴A1B1= OB1，

∴A1B1= .

∵△A1B1C1为等边三角形，

∴A1A2= A1B1=1，

∴OA2=3,A2B2= .

同理,可得出：AB= ,AB=,…,AnBn=( ) ，

∴第n个等边三角形AnBnCn的面积为

则第2019个等边三角形的面积为

故答案为：.