Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（-1，3）、（-4，1）、（-2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A₁B₁C₁，点B的对应点B₁的坐标是（1，2），再将△A₁B₁C₁绕原点O顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂，点A₁的对应点为点A₂．
（1）画出△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂；
（2）求出在这两次变换过程中，点A经过点A₁到达A₂的路径总长；
（3）求线段B₁C₁旋转到B₂C₂所扫过的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）由B点坐标和B₁的坐标得到△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A₁B₁C₁，则根据点平移的规律写出A₁和C₁的坐标，然后描点即可得到△A₁B₁C₁；利用网格特点和旋转的性质画出点A₁的对应点为点A₂，点B₁的对应点为点B₂，点C₁的对应点为点C₂，从而得到△A₂B₂C₂；
（2）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA₁为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A₁到达A₂的路径总长；
（3）用扇形C₁C₂的面积-扇形B₁B₂的面积即可得．

解答 解：（1）如图，△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂为所作；

（2）OA₁=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
点A经过点A₁到达A₂的路径总长=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$+$\frac{90•π•4\sqrt{2}}{180}$=$\sqrt{26}$+2$\sqrt{2}$π；

（3）∵OB₁=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OC₁=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴线段B₁C₁旋转到B₂C₂所扫过的图形的面积为$\frac{90•π•（\sqrt{13}）^{2}}{360}$-$\frac{90•π•（\sqrt{5}）^{2}}{360}$=2π．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．