【题目】已知:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25,BC=32.连接BD,AE⊥BD垂足为E.
(1)求证:△ABE∽△DBC;
(2)求线段AE的长.
【答案】(1)见解析;(2)15
【解析】
试题分析:(1)由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB,由AD∥BC可知,∠ADB=∠DBC,由此可得∠ABD=∠DBC,又∵∠AEB=∠C=90°,利用“AA”可证△ABE∽△DBC;
(2)由等腰三角形的性质可知,BD=2BE,根据△ABE∽△DBC,利用相似比求BE,在Rt△ABE中,利用勾股定理求AE.
(1)证明:∵AB=AD=25,
∴∠ABD=∠ADB,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵AE⊥BD,
∴∠AEB=∠C=90°,
∴△ABE∽△DBC;
(2)解:∵AB=AD,又AE⊥BD,
∴BE=DE,
∴BD=2BE,
由△ABE∽△DBC,
得,
∵AB=AD=25,BC=32,
∴,
∴BE=20,
∴AE=.
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【题目】等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S.
(1)求出S关于t的函数关系式;
(2)当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列结论:
①a<0,②b<0,③c>0,④4a﹣2b+c<0,⑤b+2a=0
其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连结DP,作PQ⊥DP,使得PQ交线段BC于点E,设AP=x.
(1)当x为何值时,△APD是等腰三角形?
(2)若设BE=y,求y关于x的函数关系式;
(3)若BC的长a可以变化,在现在的条件下,是否存在点P,使得PQ经过点C?若不存在,请说明理由;若存在,写出当BC的长在什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C,并求出相应的AP的长.
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【题目】下列多项式中不能用完全平方公式因式分解的是( )
A. 9a2-6a+1 B. a2-6a+9 C. a2-2a+4 D. a2-2ab+b2
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【题目】在菱形ABCD中,∠BAD=120°,射线AP位于该菱形外侧,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE、DE,直线DE与直线AP交于F,连接BF,设∠PAB=α.
(1)依题意补全图1;
(2)如图1,如果0°<α<30°,判断∠ABF与∠ADF的数量关系,并证明;
(3)如图2,如果30°<α<60°,写出判断线段DE,BF,DF之间数量关系的思路;(可以不写出证明过程)
(4)如果60°<α<90°,直接写出线段DE,BF,DF之间的数量关系.
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