【题目】等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S.
(1)求出S关于t的函数关系式;
(2)当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论.
【答案】(1);(2)点P运动秒时,S△PCQ=S△ABC;(3)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
【解析】
试题分析:由题可以看出P沿AB向右运动,Q沿BC向上运动,且速度都为1cm/s,S=QC×PB,所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系,另外应注意P点的运动轨迹,它不仅在B点左侧运动,达到一定时间后会运动到右侧,所以一些问题可能会有两种可能出现的情况,这时我们应分条回答.
解:(1)当t<10秒时,P在线段AB上,此时CQ=t,PB=10﹣t
∴
当t>10秒时,P在线段AB得延长线上,此时CQ=t,PB=t﹣10
∴(4分)
(2)∵S△ABC=(5分)
∴当t<10秒时,S△PCQ=
整理得t2﹣10t+100=0无解(6分)
当t>10秒时,S△PCQ=
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5(舍去负值)(7分)
∴当点P运动秒时,S△PCQ=S△ABC(8分)
(3)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
证明:过Q作QM⊥AC,交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM,
∴AE=PE=CM=QM=t,
∴四边形PEQM是平行四边形,且DE是对角线EM的一半.
又∵EM=AC=10∴DE=5
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
同理,当点P在点B右侧时,DE=5
综上所述,当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是 .
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【题目】“科学”号是我国目前最先进的海洋科学综合考察船,它在南海利用探测仪在海面下方探测到点C处有古代沉船.如图,海面上两探测点A,B相距1400米,探测线与海面的夹角分别是30°和60°.试确定古代沉船所在点C的深度.(结果精确到1米,参考数据:≈1.414,≈1.732)
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【题目】小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,观察得出了下面五条信息:(1)a<O;(2)b2﹣4ac<0;(3)b>O;(4)a+b+c>0;(5)a﹣b+c>0.你认为其中正确信息的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
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【题目】在三个内角互不相等的△ABC中,最小的内角为∠A,则在下列四个度数中,∠A最大可取( )
A. 30° B. 59° C. 60° D. 89°
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【题目】已知:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25,BC=32.连接BD,AE⊥BD垂足为E.
(1)求证:△ABE∽△DBC;
(2)求线段AE的长.
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