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【题目】等腰ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,PCQ的面积为S.

(1)求出S关于t的函数关系式;

(2)当点P运动几秒时,SPCQ=SABC

(3)作PEAC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论.

【答案】(1);(2)点P运动秒时,SPCQ=SABC;(3)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.

【解析】

试题分析:由题可以看出P沿AB向右运动,Q沿BC向上运动,且速度都为1cm/s,S=QC×PB,所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系,另外应注意P点的运动轨迹,它不仅在B点左侧运动,达到一定时间后会运动到右侧,所以一些问题可能会有两种可能出现的情况,这时我们应分条回答.

解:(1)当t<10秒时,P在线段AB上,此时CQ=t,PB=10﹣t

当t>10秒时,P在线段AB得延长线上,此时CQ=t,PB=t﹣10

(4分)

(2)SABC=(5分)

当t<10秒时,SPCQ=

整理得t2﹣10t+100=0无解(6分)

当t>10秒时,SPCQ=

整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5(舍去负值)(7分)

当点P运动秒时,SPCQ=SABC(8分)

(3)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.

证明:过Q作QMAC,交直线AC于点M

易证APE≌△QCM

AE=PE=CM=QM=t,

四边形PEQM是平行四边形,且DE是对角线EM的一半.

EM=AC=10DE=5

当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.

同理,当点P在点B右侧时,DE=5

综上所述,当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.

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