Question

已知直线y=-

1

2

x+m（m≠0）与x轴、y轴分别交于点A、B，点C的坐标是（1，0）．
（1）求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式（解析式中可以含字母m）；
（2）在平面直角坐标系内有一点D，使四边形ABCD为菱形，求点D的坐标；
（3）设（1）中的抛物线的顶点为M，对称轴与x轴的交点为N，当m＞0时，如果Rt△CMN与Rt△OBC相似，求此时抛物线的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：常规题型

分析：（1）根据该抛物线经过A、B、C三点即可解题；
（2）四边形ABCD为菱形，即BD∥AC，AD∥BC即可，即可求得点D的坐标；
（3）根据Rt△CMN与Rt△OBC相似即可求得m的值，即可解题．

解答：解：（1）设经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵直线y=-

1

2

x+m（m≠0）与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（2m，0），B（0，m），
代入A、B、C三点得方程组

4m2+2mb+c=0 c=m a+b+c=0

，
解得a=

1

2

，b=-（m+

1

2

），c=m，
∴经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=

1

2

x²-（m+

1

2

）x+m；
（2）①2m＞1时，点D坐标为（2m-1．m），
当2m＜1时，点D坐标为（1-2m，m）；
（3）∵y=

1

2

x²-（m+

1

2

）x+m，的顶点为M，其中m＞0，
M点横坐标为m+

1

2

，纵坐标为-

1

2

(m-

1

2

)2，
当Rt△CMN与Rt△OBC相似时，

MN

CN

=

OB

OC

，
化简得|m-

1

2

|=2m，解得m=

1

6

，
∴此时抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-（m+

1

2

）x+m；
化简得y=

1

2

x²-

2

3

x+

1

6

．

点评：本题考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了一元二次方程组的求解，考查了抛物线顶点问题．