Question

8．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，先证明∠ECF=90°，再证明OC=OE=OF，利用勾股定理即可解决．
（2）如图2中，根据直角三角形的斜边大于直角边即可判断EF＞CF，由此即可判断．
（3）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明是矩形，最后证明是正方形即可．

解答 （1）解：如图1中，∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=∠FCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴∠ECF=90°，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB=∠OCE，∠OFC=∠FCD=∠FCO，
∴EO=OC=FO，
在RT△ECF中，∵∠ECF=90°，EC=12，CF=5，
∴EF=$\sqrt{E{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∴OC=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{13}{2}$．
（2）如图2中，四边形BCFE不可能是菱形．
由（1）可知∠ECF=90°，
∴EF＞CF，
∴四边形BCFE不可能是菱形．
（3）如图3中，当点O运动到AC等中点，且∠ACB=90°时四边形AECF是正方形．
证明：由（1）可知OC=OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=EF，
∴四边形AECF是矩形，
∵MN∥BC，
∵∠AOE=∠ACB=90°，
∴EO⊥AC，∵OA=OC，
∴EA=EC，
∴四边形AECF是正方形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解决问题的关键，属于中考常考题型．