Question

如图，在直角坐标系中，△CMN是等边三角形，且OM=ON=1，OA=2，P是x轴正半轴上的任意一点，当P点在x轴正半轴上移动时，是否存在这样的一点P，使△CMA∽△CNP？若存在，请确定P点的位置并画出△CNP，并给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,等边三角形的性质

专题：常规题型

分析：根据等边三角形的性质得∠CMN=∠CNM=60°，CM=CN=2OM=2，则∠CMA=∠CNP=120°，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当

CM

CN

=

MA

NP

时，△CMA∽△CNP，即

2

2

=

1

NP

，解得NP=1，然后计算出OP的长，从而可确定P点坐标．

解答：解：∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN=∠CNM=60°，
∵OM=ON=1，
∴CM=CN=2OM=2，
∴∠CMA=∠CNP=120°，
∴当

CM

CN

=

MA

NP

时，△CMA∽△CNP，即

2

2

=

1

NP

，解得NP=1，
∴OP=ON+NP=2，
∴P点坐标为（2，0），如图．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了等边三角形的性质．