Question

【题目】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,将一直角三角板按图中所示的方式摆放（∠MON=900）

探究一：将图①中的三角板绕点0顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边OM恰好平分∠BOC。若∠BOC=500，ON是否平分∠A0C? 请说明理由；

探究二：将图①中的三角板绕点O时针旋转一定的角度得到图③，

（1）使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC=600，则∠BOM与∠CON之间存在怎样的数量关系？请说明理由。

（2）使边ON在∠BOC的内部，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】探究一、ON平分∠AOC,理由见解析；探究二、（1）∠BOM-∠CON=300 ，理由见解析；（2）∠BOM＝∠NOC＋30°, 理由见解析.

【解析】

探究一：角平分线的定义可知∠BOM＝∠MOC，由∠NOM＝90°，可知∠BOM＋∠AON＝90°，∠MOC＋∠NOC＝90°，根据等角的余角相等可知∠AON＝∠NOC；

探究二：（1）根据题意可知∠NOC＋∠NOB＝60°，∠BOM＋∠NOB＝90°，由∠BOM＝90°∠NOB、∠BON＝60°∠NOC可得到∠BOM＝∠NOC＋30°．

（2）根据∠CON＋∠NOB＝60°、∠BOM＋∠NOB＝90°可得∠BOM＝∠NOC＋30°．

解：探究一、ON平分∠AOC，

理由如下：∵OM平分∠BOC，且∠BOC=50°

∴∠BOM=∠COM=25°

∵∠MON=90°

∴∠CON=90°-25°=65°

∵∠AON=180°-90°-25°=65°

∴∠CON=∠AON

∴ON平分∠AOC

探究二、（1）∠BOM-∠CON=30°

∵∠MON=90°

∴∠BON=90°-∠BOM

∵∠BOC=60°

∴∠BON=60°-∠CON

∴90°-∠BOM=60°-∠CON

即：∠BOM-∠CON=300 .

（2）∠BOM＝∠NOC＋30°．理由如下：

∵∠CON＋∠NOB＝60°，∠BOM＋∠NOB＝90°

∴∠BOM＝∠NOC＋30°．