Question

【题目】（I）圆中最长的弦是________；

（Ⅱ）如图①，AB 是⊙O 的弦，AB=8，点 C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°， 若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长度的最大值是___；

（Ⅲ）如图②，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=4，D 是边 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画⊙O，分别交 AB、AC 于点 E、F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为_____．

Answer 1

【答案】直径 4

【解析】

（Ⅰ）根据直径是圆中最长的弦解答即可；

（Ⅱ）根据中位线定理得到 MN 的长最大时，BC 最大，当 BC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．

（Ⅲ）由垂线段的性质可知，当 AD 为△ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短， 此时线段 EF=2EH=20Esin∠EOH=20Esin60°，因此当半径 OE 最短时，EF 最短，连接OE，OF，过 O 点作 OH⊥EF，垂足为 H，在 Rt△ADB 中，解直角三角

形求直径 AD，由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，在 Rt△EOH 中，

解直角三角形求 EH，由垂径定理可知 EF=2EH．

解：（Ⅰ）直径是圆中最长的弦，故答案为：直径；

（Ⅱ）如图 1，∵点 M，N 分别是 AB，AC 的中点，

∴MN=BC，

∴当 BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当 BC 是直径时，BC 最大， 连接 BO 并延长交⊙O 于点 C′，连接 AC′，

∵BC′是⊙O 的直径，

∴∠BAC′=90°．

∵∠ACB=45°，AB=8，

∴∠AC′B=45°，

∴BC′= ==8，

∴MN 最大=4． 故答案为：4；

（Ⅲ）由垂线段的性质可知，当 AD 为△ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短，

如图 2 ，

连接 OE，OF，过 O 点作 OH⊥EF，垂足为 H，

∵在 Rt△ADB 中，∠ABC=45°，AB=4，

∴AD=BD=2，即此时圆的直径为 2，

由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，

∴在 Rt△EOH 中，EH=OEsin∠EOH=×=，

由垂径定理可知 EF=2EH=． 故答案为： ．