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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx+4经过点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,直线yx+2交y轴于点D,交抛物线于EF两点,点P为线段EF上一个动点(与EF不重合),PQy轴与抛物线交于点Q.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当P在什么位置时,四边形PDCQ为平行四边形?求出此时点P的坐标;

(3)是否存在点P使△POB为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) y=-x2+3x+4;(2)P点坐标为(2,4);(3) P点坐标为(2,4)(-1+,1+).

【解析】

1)把AB的坐标代入抛物线的解析式中,得到关于ab的二元一次方程组,求出方程组的解集即可得到ab的值,然后把ab的值代入抛物线的解析式即可确定出抛物线的解析式;
(2)因为PQy轴平行,要使四边形PDCQ为平行四边形,即要保证PQ等于CD,所以令x=0,求出抛物线解析式中的y即为D的纵坐标,又根据抛物线的解析式求出C的坐标,即可求出CD的长,设出P点的横坐标为m即为Q的横坐标,表示出PQ的长,令其等于2列出关于m的方程,求出方程的解即可得到m的值,判断符合题意的m的值,即可求出P的坐标;
(3)存在.分两种情况考虑:当OB作底时,求出线段OB垂直平分线与直线EF的交点即为P的位置,求出此时P的坐标即可;当OB作为腰时,得到OB等于OP,根据等腰三角形的性质及OB的长,利用勾股定理及相似的知识即可求出此时P的坐标.

(1)根据题意,得

解得

∴所求抛物线的解析式为y=-x2+3x+4;

(2)PQy轴,∴当PQ=CD时,四边形PDCQ是平行四边形,

∵当x=0时,y=-x2+3x+4=4,y=x+2=2,

C(0,4),D(0,2),

设点P的横坐标为m,PQ=(-m2+3m+4)-(m+2)=2,解得m1=0,m2=2.

m=0时,点P与点D重合,不能构成平行四边形,

m=2,m+2=4,P点坐标为(2,4);

(3)存在,P点坐标为(2,4)(-1+,1+).

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