【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,直线y=x+2交y轴于点D,交抛物线于E,F两点,点P为线段EF上一个动点(与E,F不重合),PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当P在什么位置时,四边形PDCQ为平行四边形?求出此时点P的坐标;
(3)是否存在点P使△POB为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) y=-x2+3x+4;(2)P点坐标为(2,4);(3) P点坐标为(2,4)或(-1+,1+).
【解析】
(1)把A与B的坐标代入抛物线的解析式中,得到关于a与b的二元一次方程组,求出方程组的解集即可得到a与b的值,然后把a与b的值代入抛物线的解析式即可确定出抛物线的解析式;
(2)因为PQ与y轴平行,要使四边形PDCQ为平行四边形,即要保证PQ等于CD,所以令x=0,求出抛物线解析式中的y即为D的纵坐标,又根据抛物线的解析式求出C的坐标,即可求出CD的长,设出P点的横坐标为m即为Q的横坐标,表示出PQ的长,令其等于2列出关于m的方程,求出方程的解即可得到m的值,判断符合题意的m的值,即可求出P的坐标;
(3)存在.分两种情况考虑:当OB作底时,求出线段OB垂直平分线与直线EF的交点即为P的位置,求出此时P的坐标即可;当OB作为腰时,得到OB等于OP,根据等腰三角形的性质及OB的长,利用勾股定理及相似的知识即可求出此时P的坐标.
(1)根据题意,得
解得
∴所求抛物线的解析式为y=-x2+3x+4;
(2)∵PQ∥y轴,∴当PQ=CD时,四边形PDCQ是平行四边形,
∵当x=0时,y=-x2+3x+4=4,y=x+2=2,
∴C(0,4),D(0,2),
设点P的横坐标为m,∴PQ=(-m2+3m+4)-(m+2)=2,解得m1=0,m2=2.
当m=0时,点P与点D重合,不能构成平行四边形,
∴m=2,m+2=4,∴P点坐标为(2,4);
(3)存在,P点坐标为(2,4)或(-1+,1+).
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【题目】如图,直线L:与x轴、y轴分别交于A、B两点,在y轴上有一点C(0,4),线段OA上的动点M(与O,A不重合)从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)当t何值时△COM≌△AOB,并求此时M点的坐标。
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【题目】如图,A、B两个村庄的坐标分别为(2,2)、(7,4),一辆汽车从原点O出发,在x轴上行驶.
(1)汽车行驶到什么位置时离村庄A最近?写出此位置的坐标.
(2)汽车行驶到什么位置时离村庄B最近?写出此位置的坐标.
(3)请在图中画出汽车到两村庄的距离和最短的位置,并求出此最短的距离和.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 2
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,再把△ABC沿射线平移至△FEG,DE、FG相交于点H.
(1)判断线段DE、FG的位置关系,并说明理由;
(2)连结CG,求证:四边形CBEG是正方形.
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【题目】某汽车4S店销售某种型号的汽车,每辆进货价为15万元,该店经过一段时间的市场调研发现:当销售价为25万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价每降低0.5万元时,平均每周能多售出1辆.该4S店要想平均每周的销售利润为90万元,并且使成本尽可能的低,则每辆汽车的定价应为多少万元?
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,当△CEB′为直角三角形时,BE的长为_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(a,a)在第一象限,点B(0,b),点C(3,0),
其中0<b<3,∠BAC=90°.
(1)根据题意,画出示意图;
(2)若a=2,求OB的长;
(3)已知点D在线段OB的上,若 ,四边形OCAD的面积为3,求的值.
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