Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一点，连结CD，过点C作CD的垂线，与经过点C、D、B的圆交于点E，连结DE，交CB于点F．若AD＝1，DB＝3，则线段DE的长为_____；△CDF的面积为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

过D作DH⊥BC于H，解直角三角形得到AC＝BC＝AB＝，∠B＝45°，推出△BDH是等腰直角三角形，得到BH＝DH＝BD＝根据勾股定理得到CD＝，求得DE＝CD＝，根据相似三角形的性质得到BF＝，求得CF＝，由三角形的面积公式即可得到结论．

过D作DH⊥BC于H，

∵AD＝1，DB＝3，

∴AB＝AD+BD＝4，

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴AC＝BC＝AB＝，∠B＝45°，

∵∠ACB＝∠DHB＝90°，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BH＝DH＝BD＝

∴CH＝BC﹣BH＝，

∴CD＝，

∵CD⊥CE，∠E＝∠B＝45°，

△DCE是等腰直角三角形，

∴DE＝CD＝，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACB＝∠BCE，

∵∠BCE＝∠BDE，

∴∠ACD＝∠BDF，

∵∠A＝∠B＝5°，

∴△ACD∽△BDF，

∴，

∴，

∴BF＝，

∴CF＝，

∴△CDF的面积为

故答案为：.