Question

【题目】如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OA＝5．

【解析】

（1）连接OC，通过等腰三角形中线的性质得出OC⊥AB，即可证明直线AB是⊙O的切线；

（2）通过证明△BCD∽△BEC，可得，设BD＝x，则BC＝2x，代入BC2＝BDBE中，即可求得BD＝2，根据OA＝OB＝BD+OD即可求出OA的长．

（1）证明：如图，连接OC，

∵OA＝OB，CA＝CB，

∴OC⊥AB，

∴AB是⊙O的切线．

（2）解∵tan∠CED＝，

∴．

∵ED是直径，

∴∠ECD＝90°，

∴∠E+∠EDC＝90°．

又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC（OC＝OD），

∴∠BCD＝∠E．

又∵∠CBD＝∠EBC，

∴△BCD∽△BEC．

∴ ．

设BD＝x，则BC＝2x，

∵△BCD∽△BEC，

∴BC2＝BDBE，

∴（2x）2＝x（x+6）．

∴x1＝0，x2＝2．

∵BD＝x＞0，

∴BD＝2．

∴OA＝OB＝BD+OD＝3+2＝5．