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【题目】已知在⊙O中,直径AB⊥弦CDGEDC延长线上一点

1)如图1BE交⊙O于点F,求证:∠EFC=∠BFD

2)如图2,当CD也是直径,EF切⊙OF,连接DF.若tanD,求sinE的值.

【答案】1)见解析;(2

【解析】

1)连接ADBD,由圆的性质可得∠CFE=∠EDB,再证明∠ADB=∠AGD90°,可得∠DAB=∠GDB,则∠EFC=∠BFD得证;

2)证明CEF∽△FED,可得EF2CEDE,设CFa,则DF3a,由勾股定理可得CD,设CEx,则EF3x,可求出CEEF,可用a表示OF的长,则sinE的值可求出.

1)证明:如图1,连接ADBD

∵四边形CDBF为圆内接四边形,

∴∠CFE=∠EDB

AB为⊙O的直径,

∴∠ADB90°

∴∠DAB+ABD90°

ABCD

∴∠AGD90°

∴∠GDB+ABD90°

∴∠DAB=∠GDB

∴∠DAB=∠CFE

∵∠DAB=∠BFD

∴∠EFC=∠BFD

2)解:如图2,连接OFCF

EF是⊙O的切线,

OFEF

∴∠EFO90°

CD是⊙O的直径,

∴∠CFD90°

∴∠EFC=∠OFD

OFOD

∴∠ODF=∠OFD

∴∠ODF=∠EFC

∵∠CEF=∠FED

∴△CEF∽△FED

EF2CEDE

tanD

CFa,则DF3a,由勾股定理可得CD

CEx,则EF3x

解得:x

OECE+OC

sinE

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__________

__________

__________

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