Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则BD的长为__________．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

连接CD，先根据折叠的性质得出，再根据△EFC和△ABC相似，分两种情况讨论：当时，先推出CD⊥AB，进而根据同角三角函数相等得出的值；当时，先推出，，进而根据等角对等边求解．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，

∴，

若△CEF与△ABC相似，分两种情况：

①当时，EF∥AB，

连接CD，如图1所示：

∵由折叠性质可知，CD⊥EF，

∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，

∴cosB，

∵在Rt△BDC中，cosB，

∴BD=BCcosB=4；

②当时，∠CEF=∠A，

连接CD，如图2所示：

∵由折叠性质可知，CD⊥EF，

∴∠CEF+∠ECD=90°，

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠B=∠ECD，

∴BD=CD，

同理可得：∠A=∠FCD，AD=CD，

∴D点为AB的中点，

∴BDAB，

故答案为：或．