Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．

①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；

②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．

Answer 1

【答案】（1）所求函数关系式为y=﹣x2+2x+3；

（2）①线段PN的长度的最大值为．

②或，

【解析】

试题（1）利用一次函数与坐标轴坐标求法，得出B、C两点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式．

（2）利用二次函数最值求法不难求出，再利用三角形面积之间的关系，可求出等腰△BPC的面积

试题解析：（1）由于直线y=﹣x+3经过B、C两点，

令y=0得x=3；令x=0，得y=3，

∴B（3，0），C（0，3），

∵点B、C在抛物线y=﹣x2+bx+c上，于是得，

解得b=2，c=3，

∴所求函数关系式为y=﹣x2+2x+3；

（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=﹣x2+2x+3上，

且PN⊥x轴，

∴设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），

同理可设点N的坐标为（x，﹣x+3），

又点P在第一象限，

∴PN=PM﹣NM，

=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3），

=﹣x2+3x，

=—，

∴当时，

线段PN的长度的最大值为．

②解：

由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，

又由①知，OB=OC，

∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，

∴设点P的坐标为（a，a），

又点P在抛物线y=﹣x2+2x+3上，于是有a=﹣a2+2a+3，

∴a2﹣a﹣3=0，

解得，，

∴点P的坐标为：或，

若点P的坐标为，此时点P在第一象限，

在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=，

OB=OC=3，

S△BPC=S四边形BOCP﹣S△BOC=2S△BOP﹣S△BOC，

=，

若点P的坐标为，此时点P在第三象限，

则S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC=，

=，