Question

（1）填空：（a-1）（a+1）=

 

 （a-1）（a²+a+1）=

 

  （a-1）（a³+a²+a+1）=

 

（2）你发现规律了吗？请你用你发现的规律填空：（a-1）（aⁿ+a^n-1+…+a²+a+1）=

 

（3）根据上述规律，请你求4²⁰¹²+4²⁰¹¹+4²⁰¹⁰+…+4+1的值．

 

．

Answer 1

考点：多项式乘多项式

专题：规律型

分析：（1）根据平方差公式和立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；
（2）从而总结出规律是：（a-1）（aⁿ+a^n-1+…+a²+a+1）=aⁿ⁺¹-1；
（3）根据上述结论计算下列式子即可．

解答：解：根据题意：（1）（a-1）（a+1）=a²-1；
（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；
（2）（a-1）（aⁿ+a^n-1+a^n-2+…+a²+a+1）=aⁿ⁺¹-1．
（3）根据以上分析（1）4²⁰¹²+4²⁰¹¹+4²⁰¹⁰+…+4+12⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+4+1，
=

1

3

（4-1）（4²⁰¹²+4²⁰¹¹+4²⁰¹⁰+…+4+1），
=

1

3

（4²⁰¹³-1）．
故答案为：（1）a²-1，a³-1，a⁴-1；（2）aⁿ⁺¹-1；（3）

1

3

（4²⁰¹³-1）．

点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．