[题目]如图.二次函数的图象与轴交于.对称轴是直线.与轴交于点．若点.同时从点出发.都以每秒个单位长度的速度分别沿.边运动．(1)求该二次函数的解析式及点的坐标.与轴的另一个交点的坐标．(2)当.运动到秒时.沿翻折.点恰好落在轴上点处.请判定此时四边形的形状.并求出点坐标．(3)当点运动到对称轴与的交点时.点往回运动.同时点则倍的速度继� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动．

（1）求该二次函数的解析式及点的坐标，与轴的另一个交点的坐标．

（2）当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在轴上点处，请判定此时四边形的形状，并求出点坐标．

（3）当点运动到对称轴与的交点时，点往回运动，同时点则倍的速度继续沿运动，在整个运动过程中，以点，，为顶点的三角形面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

（4）在段的抛物线上有一点到线段的距离最大，请求出这个最大距离．

【答案】(1) 二次函数的解析式为；点的坐标为；点坐标为；（2）为菱形，点的坐标为；（3）最大值；（4）最大距离为．

【解析】

(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式,进而求得点C和点A的坐标．

(2)先证明AMDN为菱形,再由菱形的性质得出OM∥AN,进而证明,利用对应边成比例求出OD的值,即可求出D的坐标．

(3)①当M沿AB方向运动时,作辅助线证明,利用对应边成比例求线段进而求出面积;②当点M沿BA方向运动时, 同样证明,利用对应边成比例求出线段进而求出面积．

(4)通过一次函数的解析式设出R点坐标, 过点作于点,过点作轴的垂线段得出N点坐标,由相似对应边成比例求出RG为二次函数,利用二次函数的最值解出即可．

解：（1）由已知，得，解得

所以二次函数的解析式为．

由对称轴以及点的坐标，可得点的坐标为．

将代人抛物线方程，得，所以点坐标为．

（2）如图1，因为四边形的四条边相等，所以为菱形，所以．

，，由，得，即

解得．又，，解得，点的坐标为．

图1

（3）①当点沿方向运动时，过做垂直于点，如图2．

则，由，得．

即，，，此时当时，面积取最大值．

图2

②当点沿方向运动时，如图3设返回时的时间为，同样，，，

此时，

当时，取得最大值

综合①②可知，点运动的整个过程，当时间为时，取得最大值．

图3

（4）求得

设此段抛物线上一点的坐标为，过点作于点，

过点作轴的垂线段，交于点，则点的坐标为，

点的坐标为，

，

由，得，

由，得，，

得．

当时，取最大值为．

图4

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