Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数y= 在第一象限的图象分别交矩形OABC的边AB、BC边点于E、F，已知BE=2AE，四边形的OEBF的面积等于12．

（1）求k的值；

（2）若射线OE对应的函数关系式是y=，求线段EF的长；

（3）在（2）的条件下，连结AC，试证明：EF∥AC．

Answer 1

【答案】（1）k的值为6；（2）EF；（3）详见解析．

【解析】

（1）由△OAE面积与k的关系可求得k值；

（2）由于点E为两函数的交点，联立方程可求得点E的坐标，进而求出点B、F的坐标，由勾股定理即可求出EF的长；

（3）易证△BEF∽△BAC，从而得到∠BEF=∠BAC，进而得到两直线平行．

（1）连接OB，如图1所示，

∵S△OAB=S△OCB，S△OCF=S△OAE=，

∴S△OFB=S△OBE，

∵S△OFB+S△OBE=12，

∴S△OBE=6，

∵BE=2AE，

∴S△OBE=2S△OAE=6，

∴S△OAE==3，

∴k=6，

∴k的值为6；

（2）解方程，得x=±6，

∵点E在第一象限，

∴x=6，

把x=6代入，

得y=1，即点E（6，1）．

∵BE=2AE，

∴点B（6，3），

把y=3代入，得x=2．

∴点F（2，3），

∴BF=6﹣2=4，BE=3﹣1=2，

在直角△BEF中，根据勾股定理得：；

（3）连接AC，如图2所示，

∵BF=4，BE=2，BC=6，BA=3，

∴，，

∴，

∵∠B=∠B，

∴△BEF∽△BAC，

∴∠BEF=∠BAC．

∴EF∥AC．