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    19．如图，点P在射线AB的上方，且∠PAB=45°，PA=2，点M是射线AB上的动点（点M不与点A重合），现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°，到点Q，将点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N，连结AQ，PM，PN，作直线QN．
    （1）求证：AM=QN；
    （2）直线QN与以点P为圆心，以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时AM的长，若不存在，请说明理由；
    （3）当以点P为圆心，以PN的长为半径的圆经过点Q时，直接写出劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积．

    分析 （1）根据旋转的旋转判断出△APQ为等边三角形，再判断出∠APM=∠QPN，从而得出△APM≌△QPN即可；
    （2）由直线和圆相切得出∠AMP=∠QNP=90°，再用勾股定理即可求出结论；
    （3）先判断出PA=PQ，再判断出PQ=PN=PM，进而求出∠QPM=30°，即可求出∠QPN=90°，最后用扇形的面积公式即可．

    解答 （1）证明：如图1，连接PQ，
    由点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q，
    可得，AP=AQ，∠PAQ=60°，
    ∴△APQ为等边三角形，
    ∴PA=PQ，∠APQ=60°，
    由点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N，
    可得，PM=PN，∠MPN=60°，
    ∴∠APM=∠QPN，
    则△APM≌△QPN（SAS），
    ∴AM=QN．
    （2）解：存在．
    如图2，由（1）中的证明可知，△APM≌△QPN，
    ∴∠AMP=∠QNP，
    ∵直线QN与以点P为圆心，以PN的长为半径的圆相切，
    ∴∠AMP=∠QNP=90°，
    即：PN⊥QN，
    在R△APM中，∠PAB=45°，PA=2，
    ∴AM=$\sqrt{2}$．
    （3）解：如图3，由（1）知，△APQ是等边三角形，
    ∴PA=PQ，∠APQ=60°，
    ∵以点P为圆心，以PN的长为半径的圆经过点Q，
    ∴PN=PQ=PA，
    ∵PM=PN，
    ∴PA=PM，
    ∵∠PAB=45°，
    ∴∠APM=90°，
    ∴∠MPQ=∠APM-∠APQ=30°，
    ∵∠MPN=60°，
    ∴∠QPN=90°，
    ∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积是扇形QPN的面积，而此扇形的圆心角∠QPN=90°，半径为PN=PM=PA=2，
    ∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积=$\frac{90π•{2}^{2}}{360}$=π．

    点评 此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的性质，扇形的面积公式，解（1）的关键是得出PA=PQ，解（2）的关键是得出PN⊥QN，解（3）的关键是得出PN=PQ=PA，解本题的难点是画出符合题意的图形．

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