Question

【题目】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若AC=6，BC=8，请求出CD的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）3.

【解析】

（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；

（2）设CD的长为x，然后用x表示出DB、DE、BF利用勾股定理得到有关x的方程，解之即可．

（1）如图所示：所以点D为所求；

（2）过点D做DE⊥AB于E，设DC=x，则BD=8-x

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8

∴由勾股定理得AB=

∵点D到边AC、AB的距离相等

∴AD是∠BAC的平分线

又∵∠C=90°，DE⊥AB

∴DE=DC=x，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AE=AC=6，

∴BE=4，

Rt△DEB中，∠DEB=90°，

∴由勾股定理得DE2+BE2=BD2，

即x2+42=（8-x）2，

解得x=3．

答：CD的长度为3．