Question

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则EF与BE、CF之间有何数量关系？请说明理由；
（2）如图2，将（1）中的“在△ABC中，AB=AC“改为“若△ABC不是等腰三角形“，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？写出结论，不必说明理由．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,平行线的性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可．
（2）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可．

解答：解：（1）BE+CF=EF．理由如下：
如图1，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴BE+CF=DE+DF=EF，
即BE+CF=EF．

（2）BE+CF=EF仍然成立，理由如下：
如图2，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴BE+CF=DE+DF=EF，
即BE+CF=EF．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，等角对等边的性质．