Question

已知：AB是直径，CD是∠ACB的角平分线，AC=8，BC=6．
（1）求证：AC•BC=CG•CD；
（2）求AB、AD、BD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由条件可证明△ACG∽△DCB，可得

AC

CD

=

CG

BC

，即AC•BC=CG•CD；
（2）由勾股定理可求得AB=10，由∠ACD=∠BCD，可得AD=BD，在Rt△ABD中由勾股定理可得出AD和BD的长．

解答：（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，且∠CAG=∠CDB（同弧所对的圆周角），
∴△ACG∽△DCB，
∴

AC

CD

=

CG

BC

，即AC•BC=CG•CD；

（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠ACD=∠DCB，
∴AD=BD，
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，可求得AB=10，
在Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD=BD=5

2

．

点评：本题主要考查圆周角定理及相似三角形的判定和性质，在第（1）问是证明△ACG∽△DCB、在第（2）问中得到AD=BD是解题的关键．