Question

如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DK∥AB交BC于点E，且DK=BC，连接BK、CK．
（1）求证：△BDK≌△DBC．
（2）如图2，若∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=2

3

，求四边形BDCK的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠CBD=∠BDK，用边角边判定全等三角形方法即可证明△BDK≌△DBC；
（2）作DF⊥BC，易证AD=DF，根据△BDK≌△DBC可得CD=BK，根据四边形BDCK的面积=S_△BCK+S_△BCD即可解题．

解答：（1）证明：∵DK∥AB，
∴∠ABD=∠BDK，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠CBD=∠BDK，
∵在△BDK和△DBC中，

DK=BC ∠CBD=∠BDK BD=BD

，
∴△BDK≌△DBC，（SAS）；
（2）作DF⊥BC，

∵△BDK≌△DBC，
∴∠DBK=∠CDB，CD=BK，
∵∠CBD=∠BDK，
∴∠CBK=∠CDK=90°，
∴S_△BCK=

1

2

BC•BK=

1

2

BC•CD，
∵RT△ABD和RT△BFD中，BD=BD，∠ABD=∠CBD，
∴AD=DF，
∴S_△BCD=

1

2

BC•DF=

1

2

BC•AD，
∴四边形BDCK的面积=S_△BCK+S_△BCD=

1

2

BC•CD+

1

2

BC•AD=

1

2

BC•（CD+AD）=

1

2

BC•AC，
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=2

3

，
∴AC=2，BC=4，
∴四边形BDCK的面积=

1

2

BC•AC=4．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDK≌△DBC是解题的关键．