Question

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是OA上任意的一点，连接BE、DE．CG⊥DE于点G，交OD于点F，连接EF．求证：四边形EBCF是等腰梯形．

Answer 1

考点：等腰梯形的判定

专题：证明题

分析：先根据正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O得出AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠BCD的平分线，故可得出BE=DE，∠EBO=∠EDO，再根据CG⊥DE于点G可知∠OCF+∠CEG=90°，再由∠CEG+∠EDO=90°可知∠EDO=∠OCF，故∠EBO=∠EDO，再由ASA定理可得出△OBE≌△OCF，故OE=OF，由此可得出BE=CF，再由BF=CE可知EF∥BC，由此可得出结论．

解答：证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠BCD的平分线，
∴BE=DE，∠EBO=∠EDO．
∵CG⊥DE于点G，
∴∠OCF+∠CEG=90°，
∵∠CEG+∠EDO=90°，
∴∠EDO=∠OCF，
∴∠EBO=∠EDO，
在△OBE与△OCF中，
∵

∠EBO=∠FCO OB=OC ∠BOE=∠COF

，
∴△OBE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF．
∵OB=OC，
∴BE=CF，
∵OB=OC，
∴BF=CE，
∴EF∥BC，
∴四边形EBCF是等腰梯形．

点评：本题主要考查了全等三角形的性质和等腰梯形的判定，解决本题的关键就是证明△OBE≌△OCF
进而得出结论．