【题目】(问题情境)学习《探索全等三角形条件》后,老师提出了如下问题:如图①,△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围。同学通过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB,从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 。解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
(直接运用)如图②,AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE,AF是ACD的边CD上中线.求证:BE=2AF.
(灵活运用)如图③,在△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,DE⊥DF,DE交AC于点E,DF交AB于点F,连接EF,试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状,并证明你的结论.
【答案】(1)2<AD<10;(2)见解析(3)为直角三角形,理由见解析.
【解析】
(1)根据△ADC≌△EDB,得到BE=AC=8,再根据三角形的构成三角形得到AE的取值,再根据D为AE中点得到AD的取值;
(2)延长AF到H,使AF=HF,故△ADF≌△HCF,AH=2AF,由AB⊥AC,AD⊥AE,得到∠BAE+∠CAD=180°,又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°,根据∠D=∠FCH,∠DAF=∠CHF,得到∠ACH+∠CAD=180°,故∠BAE= ACH,再根据AB=AC,AD=AE即可利用SAS证明△BAE≌△ACH,故BE=AH,故可证明BE=2AF.
(3)延长FD到点G,使DG=FD,连结GA,GE,证明△DBF≌△DAG,故得到FD=GD,BF=AG,由DE⊥DF,得到EF=EG,再求出∠EAG=90°,利用勾股定理即可求解.
(1)∵△ADC≌△EDB,
∴BE=AC=8,
∵AB=12,
∴12-8<AE<12+8,
即4<AE<20,
∵D为AE中点
∴2<AD<10;
(2)延长AF到H,使AF=HF,
由题意得△ADF≌△HCF,故AH=2AF,
∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAE+∠CAD=180°,
又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°,
∵∠D=∠FCH,∠DAF=∠CHF,
∴∠ACH+∠CAD=180°,
故∠BAE= ACH,
又AB=AC,AD=AE
∴△BAE≌△ACH(SAS),
故BE=AH,又AH=2AF
∴BE= 2AF.
(3)以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形,理由如下:
延长FD到点G,使DG=FD,连结GA,GE,
由题意得△DBF≌△ADG,
∴FD=GD,BF=AG,
∵DE⊥DF,
∴DE垂直平分GF,
∴EF=EG,
∵∠C=90°,
∴∠B+∠CAB=90°,
又∠B=∠DAG,
∴∠DAG +∠CAB=90°
∴∠EAG=90°,
故EG2=AE2+AG2,
∵EF=EG, BF=AG
∴EF2=AE2+BF2,
则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.
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【题目】已知:是最小的正整数,且、满足,请回答问题:
(1)请直接写出、、的值. , , .
(2)、、所对应的点分别为、、,点为一动点,其对应的数为,点在、之间运动时,请化简式子:(请写出化简过程)
(3)在(1)(2)的条件下,点、、开始在数轴上运动,若点以每秒个单位长度的速度向左运动,同时,点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动,假设经过秒钟过后,若点与点之间的距离表示为,点与点之间的距离表示为.请问:的值是否随着时间的变化而改变?若变化,请说明理由:若不变,请求其值.
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【题目】如图1是一个长为2a,宽为2b的 长方形,沿图中虚线剪开分成四块小长方形,然后按如图2的形状拼成一个正方形。
(1)图2的阴影部分的正方形的边长是 .
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积.
(方法1)S阴影= ;
(方法2)S阴影= ;
(3)观察如图2,写出(a+b)2、(a-b)2,ab三个代数式之间的等量关系.
(4)根据(3)题中的等量关系,解决问题:若x+y=10,xy=16,求x-y的值。
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【题目】学完《全等三角形》知识后知道:满足“SSA”的两个三角形不一定全等,如图①,∠A与AB分别是△ABC与△ABD公共角与公共边,且AC=AD,但△ABC与△ABD不全等,但在特殊条件下“SSA”也可以确定两个三角形全等.如图②,∠MAB为锐角,AB=5,点B到射线AM的距离为3,点C在射线AM上,BC=x,当x的取值范围是__________时,△ABC的形状、大小是唯一确定。
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【题目】世界杯比赛中,根据场上攻守形势,守门员会在门前来回跑动,如果以球门线为基准,向前跑记作正数,返回则记作负数,一段时间内,某守门员的跑动情况记录如下(单位:m):+10,﹣2,+5,﹣6,+12,﹣9,+4,﹣14.(假定开始计时时,守门员正好在球门线上)
(1)守门员最后是否回到球门线上?
(2)守门员离开球门线的最远距离达多少米?
(3)如果守门员离开球门线的距离超过10米(不包括10米),则对方球员挑射极可能造成破门.请问在这一时间段内,对方球员有几次挑射破门的机会?
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【题目】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用,表示直角三角形的两直角边(),下列四个说法:
①,②,③,④.
其中说法正确的是 …………………………………………………………( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,O点在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线,与AB的延长线相交于点P.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)求证:△PBD∽△DCA;
(3)当AB=6,AC=8时,求线段PB的长.
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【题目】为了解中考体育科目训练情况,某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A级:优秀;B级良好;C级及格;D级不及格),并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题.
(1)本次抽样测试的学生人数是 .
(2)图1中∠α的度数是多少度?并直接把图2条形统计图补充完整;
(3)该县九年级学生3500名,如果全部参加这次中考体育科目测试,请你估计不及格的人数多少人?
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