Question

【题目】实验探究题
（1）操作发现：
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D在线段BC上（不与点B重合），连接AD，将线段AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接EC，如图①所示，请直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系．
（2）猜想论证：
在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，请你在图②中画出图形并判断（1）中的结论是否成立，并证明你的判断．

（3）拓展延伸：
如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3 时，请直接写出线段CF的长的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：CE=BD，CE⊥BD；

理由：如图①中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；

（2）

解：结论：（1）中的结论仍然成立．理由如下：

如图②中，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，

所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；

（3）45；
【解析】（3）①结论：当锐角∠ACB=45°时，CE⊥BD．理由如下：
如图③中，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵∠ACB=45°，
∴△AMC为等腰直角三角形，
∴AM=MC，
∴MC=NE，
∵AM⊥BC，EN⊥AM，
∴NE∥MC，
∴四边形MCEN为平行四边形，
∵∠AMC=90°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴∠DCF=90°，
∴EC⊥BD．
②∵Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴ = ，
设DC=x，
∵∠ACB=45°，AC=3 ，
∴AM=CM=3，MD=3﹣x，
∴ = ，
∴CF=﹣ x2+x=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当x=1.5时，CF有最大值，最大值为 ．
故答案为45， ；
（1.）只要证明△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．（2）结论不变．证明的方法与（1）一样．
（3.）①当锐角∠ACB=45°时，CE⊥BD．过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根据旋转的性质得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，则NE=MA，由于∠ACB=45°，则AM=MC，所以MC=NE，易得四边形MCEN为矩形，得到∠DCF=90°，
②由Rt△AMD∽Rt△DCF，得 = ，由此构建二次函数，再利用二次函数即可求得CF的最大值．