Question

【题目】如图（1），已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为x=1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y=x+1经过A，且与y轴交于点D．

（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图（2），点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点（不含B，C两点），设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？

（3）如图（3），将△ODB沿直线y=x+1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1：2两部分，请直接写出此时平移的距离．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把y=0代入直线的解析式得：x+1=0，解得x=﹣1，

∴A（﹣1，0）．

∵抛物线的对称轴为x=1，

∴B的坐标为（3，0）．

将x=0代入抛物线的解析式得：y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入得：﹣3a=﹣3，解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）

解：如图1所示：连结OP．

将x=0代入直线AD的解析式得：y=1，

∴OD=1．

由题意可知P（t，t2﹣2t﹣3）．

∵四边形DCPB的面积=△ODB的面积+△OBP的面积+△OCP的面积，

∴S= ×3×1+ ×3×（﹣t2+2t+3）+ ×3×t，整理得：S=﹣ t2+ t+6．

配方得：S=﹣ （t﹣ ）2+ ．

∴当t= 时，S取得最大值，最大值为 ．

（3）

解：如图2所示：

设点D′的坐标为（a，a+1），O′（a，a）．

当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=1：2时，则O′E：EB′=1：2．

∵O′B′=0B=3，

∴O′E=1．

∴E（a+1，a）．

将点E的坐标代入抛物线的解析式得：（a+1）2﹣2（a+1）﹣3=a，整理得：a2﹣a﹣4=0，解得：a= 或a= ．

∴O′的坐标为（ ， ）或（ ， ）．

∴OO′= 或OO′= ．

∴△DOB平移的距离为 或 ．

当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=2：1时，则O′E：EB′=2：1．

∵O′B′=0B=3，

∴O′E=2．

∴E（a+2，a）．

将点E的坐标代入抛物线的解析式得：（a+2）2﹣2（a+2）﹣3=a，整理得：a2﹣a﹣4=0，解得：a= 或a= ．

∴O′的坐标为（ ， ）或（ ， ）．

∴OO′= 或OO′= ．

∴△DOB平移的距离为 或 ．

综上所述，当△D′O′B′沿DA方向平移 或 单位长度，或沿AD方向平移 或 个单位长度时，ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1：2两部分．

【解析】（1）先求得点A的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标，然后求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入求得a的值即可；（2）连结OP．先求得点D的坐标，从而可得到OD的长，设P（t，t2﹣2t﹣3），然后依据四边形DCPB的面积=△ODB的面积+△OBP的面积+△OCP的面积可得到S与t的函数关系式，利用配方法可求得S的最大值以及对应的t的值；（3）设点D′的坐标为（a，a+1），O′（a，a），当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=1：2时，E（a+1，a），将点E的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到O′的坐标，然后求得OO′的长即可，当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=2：1时，E（a+2，a），同理可求得OO′的长，从而可得到△B′O′D′平移的距离．