如图.已知二次函数y=x2+bx+4与x轴交于点B(4.0).与y轴交于点A.O为坐标原点.P是二次函数y=x2+bx+4的图象上一个动点.点P的横坐标是m.且m＞4.过点P作PM⊥x轴.PM交直线AB于M．(1)求二次函数的解析式,(2)若以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切.求此时点P的坐标,(3)在点P的运动过程中.△APM能否为等腰三角形?若能.求出点M的坐标,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知二次函数y=x²+bx+4与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点A，O为坐标原点，P是二次函数y=x²+bx+4的图象上一个动点，点P的横坐标是m，且m＞4，过点P作PM⊥x轴，PM交直线AB于M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，求此时点P的坐标；
（3）在点P的运动过程中，△APM能否为等腰三角形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法，可得二次函数的解析式；
（2）先求出B点坐标N点坐标和⊙N的半径，根据⊙N恰好与直线PM相切，可得N到PM的长为半径，可得P点的横坐标，再根据函数与自变量的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：①当PA=PM时，②当AP=AM时，③当MA=MP时，根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）将B（4，0）代入y=x²+bx+4，得
0=16+4b+4，
解得：b=-5，
故y=x²-5x+4；
（2）当x=0时，y=4，即A（0，4）．
又B（4，0），
AB的中点N（2，2），
AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
以AB为直径的⊙N半r=$\frac{AB}{2}$=2$\sqrt{2}$．
以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，得
P点的横坐标为 m=2+2$\sqrt{2}$．
P点的纵坐标：m²-5m+4=（m-2）²-m=（2$\sqrt{2}$）²-（2+2$\sqrt{2}$）=6-2$\sqrt{2}$；
P（2+2$\sqrt{2}$，6-2$\sqrt{2}$），
以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，此时点P的坐标（2+2$\sqrt{2}$，6-2$\sqrt{2}$）．
（3）AB的解析式为y=-x+4，点M的坐标是（m，4-m），P（m，m²-5m+4）
PM²=m⁴-12m³+36m²，AP²=m⁴-10m³+26m²，AM²=2m²，
①当PA=PM时；m⁴-10m³+26m²=m⁴-12m³+36m²，化简，得
2m³-10m²=0，解得m=5，m=0（舍）；当m=5时，y=4-5=-1，
∴M（5，-1）．
②当AP=AM时，m⁴-10m³+26m²=2m²，化简，得
m⁴-10m³+24m²=0解得m=6，m=0（不符合题意，舍）m=4（不符合题意，舍）；
当m=6时，4-6=-2，
∴M（6，-2）．
③当MA=MP时，2m²=m⁴-12m³+36m²，化简，得m⁴-12m³+34m²=0
解得m=4+$\sqrt{2}$，m=0（不符合题意，舍），m=4-$\sqrt{2}$（不符合题意，舍）；
当m=4+$\sqrt{2}$0时，4-4-$\sqrt{2}$=-$\sqrt{2}$，
∴M（4+$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
综上所述：所求点M的坐标是（5，-1）或（6，-2）或（4+$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．

点评本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．

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