Question

【题目】先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：

材料：过抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴上一点（0，﹣）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x2的焦点为（0，）．

问题：若直线y=kx+b交抛物线y=x2于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．

①求抛物线y=x2的焦点F的坐标；

②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；

③当直线AB过点（﹣1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．

Answer 1

【答案】①F（0，1）；②证明见解析；③AB对应的函数解析式为y=x+1．

【解析】

①将a=代入题中给出的焦点坐标公式中即可．
②根据焦点的概念可知：AC=AF，BF=BD，如果连接CF、DF，那么CF必平分角AFO（可用三角形全等证出）．同理可求得DF平分∠BFO，由此可得证．
③可连接圆心与切点，设圆心为M，切点为N，那么MN就是梯形ACDB的中位线，因此MN=（AC+BD）=AB，根据焦点的定义知：AF=AC，BF=BD，因此AF+BF=AB，也就是说直线AB恰好过焦点F，那么可根据F的坐标（①已求得）和已知的点（-1，0）的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．

①F（0，1）

②证明：∵AC=AF，

∴∠ACF=∠AFC

又∵AC∥OF，

∴∠ACF=∠CFO，

∴CF平分∠AFO，同理DF平分∠BFO；

而∠AFO+∠BFO=180°

∴∠CFO+∠DFO=（∠AFO+∠BFO）=90°；

∴CF⊥DF．

③设圆心为M，且与l的切点为N，连接MN；

∴MN=AB

在直角梯形ACDB中，M是AB的中点．

∴MN=（AC+BD），而AC=AF，BD=BF．

∴MN=（AF+BF）

∴AF+BF=AB

∴AB过焦点F（0，1）．

又AB过点（﹣1，0）

∴

解得

∴AB对应的函数解析式为y=x+1．