【题目】如图1,已知抛物线与抛物线的形状相同,开口方向相反,且相交于点和点.抛物线与轴正半轴交于点为抛物线上两点间一动点,过点作直线轴,与交于点.
(1)求抛物线与抛物线的解析式;
(2)四边形的面积为,求的最大值,并写出此时点的坐标;
(3)如图2,的对称轴为直线,与交于点,在(2)的条件下,直线上是否存在一点,使得以为顶点的三角形与相似?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.
【答案】(1); ;(2)16;(-1,4); (3)存在点的坐标或(使得为顶点的三角形与相似,理由见解析.
【解析】
(1)分别利用待定系数法求两个二次函数的解析式;
(2)设点P横坐标为t,则P(t,t2+t+6),Q(t,t2+5t),表示PQ的长,根据两三角形面积和可得S与t的关系式,配方后可得S的最大值;
(3)先确定∠AQB=135°,然后分两种情况讨论可得结论.
解:(1)将代入得:,
∴,
∵与形状相同,开口相反,
∴,
∴,
将代入得,
解得:,,
∴;
(2)设点横坐标为t,
则,,
∴,
∴
,
∴当时,,此时的坐标为;
(3)存在点,
由得直线为:,
由(2)知点的坐标为点的坐标为,
且为,
令得:为,
如图,设与轴交于点,直线与轴交于点,
作的延长线,垂足为点,易知,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴点在的上方,
, ,
,,
①若,则,
即
此时的坐标为;
②若,则,
即,此时的坐标为,
综上可知存在点的坐标或(使得为顶点的三角形与相似.
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【题目】在平面直角坐标系中,与轴交于点,将点向右平移两个单位长度,得到点,点在抛物线上.
(1)①直接写出抛物线的对称轴是__________;
②用含的代数式表示;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.点恰好为整点,若抛物线在点、之间的部分与线段所围成的区域内(不含边界)恰有两个整点,结合函数图象,求的取值范围.
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【题目】如图,四边形ABCD是矩形,点E在BC边上,点F在BC延长线上,且∠CDF =∠BAE.
(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(2)若DF=3,DE=4,AD=5,求CD的长度.
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【题目】某竹制品加工厂根据市场调研结果,对该厂生产的一种新型竹制品玩具未来两年的销售进行预测,并建立如下模型:设第t个月,竹制品销售量为P(单位:箱),P与t之间存在如图所示函数关系,其图象是线段AB(不含点A)和线段BC的组合.设第t个月销售每箱的毛利润为Q(百元),且Q与t满足如下关系Q=2t+8(0≤t≤24).
(1)求P与t的函数关系式(6≤t≤24).
(2)该厂在第几个月能够获得最大毛利润?最大毛利润是多少?
(3)经调查发现,当月毛利润不低于40000且不高于43200元时,该月产品原材料供给和市场售最和谐,此时称这个月为“和谐月”,那么,在未来两年中第几个月为和谐月?
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【题目】如图,已知一次函数y=kx+b的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,且与反比例函数y=交于点C,D.作CE⊥x轴,垂足为E,CF⊥y轴,垂足为F.点B为OF的中点,四边形OECF的面积为16,点D的坐标为(4,﹣b).
(1)求一次函数表达式和反比例函数表达式;
(2)求出点C坐标,并根据图象直接写出不等式kx+b≤的解集.
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【题目】某店因为经营不善欠下68400元的无息贷款的债务,想转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金,并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息).已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装日销售量(件)与销售价(元件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元,每天还应支付其它费用为106元(不包含债务).
(1)求日销售量(件)与销售价(元/件)之间的函数关系式;
(2)若该店暂不考虑偿还债务,当某天的销售价为48元/件时,当天正好收支平衡(收入=支出),求该店员工的人数;
(3)若该店只有2名员工,则该店最早需要多少天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为多少元?
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【题目】正方形的边长为,点分别是线段上的动点,连接并延长,交边于,过作,垂足为,交边于点.
(1)如图1,若点与点重合,求证:;
(2)如图2,若点从点出发,以的速度沿向点运动,同时点从点出发,以的速度沿向点运动,运动时间为.
①设,求关于的函数表达式;
②当时,连接,求的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,把它内部及边上的横、纵坐标均为整数的点称为整点,点P为抛物线的顶点(m为整数),当点P在正方形OABC内部或边上时,抛物线下方(包括边界)的整点最少有( )
A.3个B.5个C.10个D.15个
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【题目】如图,将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内,A(﹣2,0),点B在原点,把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2020次翻转之后,点C的坐标是_____.
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