Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），且＝0．

(1)直接写出 A、B、C 各点的坐标：A_______；B__________；C_____；

(2)过 B 作直线 MN⊥AB，P 为线段 OC 上的一动点，AP⊥PH 交直线 MN 于点 H，证明：PA＝PH．

(3)在（1）的条件下，若在点 A 处有一个等腰 Rt△APQ 绕点 A 旋转，且 AP＝PQ，∠APQ＝90°，连接 BQ，点 G 为 BQ 的中点，试猜想线段 OG 与线段 PG 的数量关系与位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)( 0，3)，（3，0），（﹣3，0）;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

(1)根据非负数的性质得到a=3,b=3,C=-3,于是得到结论;

(2)利用A(0,3)、B(3,0) ,C(-3,0),得到ΔABC,ΔOAC,ΔOAB都是等腰直角三角形,如图1,过点P作PG//AB交y轴与G,则∠4=∠6=45,再证明ΔAPG≌ΔPHB,得到PA=PH.

(3)OG=PG,OG⊥PG,理由:如图2,延长PG到R,使GR=PG,连接PO,OR,BR,证明

ΔPQG≌ΔBRG,得到PQ=BR,∠5=∠GBR,进而AP⊥PQ,再延长AP交BR于S,交OB于T,则AP⊥BR,证明ΔPAO≌ΔRBO得到PO=OR,∠1=∠2,所以ΔPOR为等腰直角三角形,根据PG=GR,所以OG⊥PG,OG=PG.

解：（1）∵＝0，

又∵≥0，|b﹣3|≥0，（c+3）2≥0，

∴a＝b＝3，c＝﹣3，

∴A（0，3），B（3，0），C（﹣3，0），故答案为（0，3），（3，0），（﹣3，0）．

（2）∵A（0，3）、B（3，0）、C（﹣3，0）．

∴OA＝OB＝OC，

∴△ABC，△OAC，△OAB 都是等腰直角三角形，

∴∠6＝∠7＝45°，

如图 1，过点 P 作 PG∥AB 交 y 轴与 G，则∠4＝∠6＝45°，

∴OP＝OG，

∴AO+OG＝OB+OP，

即 AG＝PB，

∵AP⊥PH，

∴∠2+∠5＝90°，

∵∠1+∠5＝90°，

∴∠1＝∠2，

∵MN⊥AB，

∴∠3+∠7＝90°，

∴∠3＝45°，

∴∠3＝∠4，

在△APG 和△PHB 中，

∴△APG≌△PHB（ASA），

∴PA＝PH ．

（3）结论：OG＝PG，OG⊥PG，

理由：如图 2，延长 PG 到 R，使 GR＝PG，连接 PO，OR，BR，

在△PQG 和△BRG 中，

∴△PQG≌△BRG（SAS），

∴PQ＝BR，∠5＝∠GBR，

∴PQ∥BR，

∵AP⊥PQ，

延长 AP 交 BR 于 S，交 OB 于 T，则 AP⊥BR，

∵∠AOB＝∠ASB＝90°，∠ATR＝∠BTS，

∴∠α＝∠β，

∵PA＝PQ，PQ＝BR，

∴PA＝BR，

在△PAO 和△RBO 中，

∴△PAO≌△RBO（SAS），

∴PO＝OR ，∠1＝∠2，

∵∠1+∠POB＝90°，

∴∠POB+∠2＝90°，

∴△POR 为等腰直角三角形，

∵PG＝GR，

∴OG⊥PG，OG＝PG．