【题目】在平面直角坐标系中,如图1,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为,与x轴的交点A(﹣1,0)与y轴交于点C(0,﹣2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2.点P是直线BC下方抛物线上的一点,过点P作BC的平行线交抛物线于点Q(点Q在点P右侧),连结BQ,当△PCQ的面积为△BCQ面积的一半时,求P点的坐标;
(3)现将该抛物线沿射线AC的方向进行平移,平移后的抛物线与直线AC的交点为A'、C'(点C'在点A'的下方),与x轴的交点为B',当△AB'C'与△AA'B'相似时,求出点A′的横坐标.
【答案】(1) ;(2)点P(1,﹣3);(3)点A′的横坐标为.
【解析】
(1)由对称性可知B(4,0),设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣4),由待定系数法可求得抛物线的解析式;
(2)由平行线间距离处处相等可知,当△PCQ的面积为△BCQ面积的一半时,可求相关线段的长,再求得BC的解析式,将其与抛物线解析式联立可解;
(3)由平移的相关知识,结合图形分析,得出方程组,从而得解.
解:(1)由对称性可知B(4,0)
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣4)
将(0,﹣2)代入得a=
∴y=x2﹣x﹣2.
(2)由平行线间距离处处相等可知,当△PCQ的面积为△BCQ面积的一半时,PQ=BC
∵C(0,﹣2),B(4,0)
∴BC=
∴PQ=
∴PQ2==5
∵直线BC的解析式为y=x﹣2,PQ∥BC
∴设直线PQ的解析式为y=x+b
则yP=xP+b,yQ=y=xQ+b
联立 得
x2﹣4x﹣4﹣2b=0
则xP+xQ=4
∵PQ2==5
∴=5,xQ﹣xP=2
∴点P(1,﹣3)
(3)由点A(﹣1,0),C(0,﹣2)得直线AC的解析式为y=﹣2x﹣2
设点A'坐标为(a,﹣2a﹣2),由平移的性质,可知AC=A'C'=
平移距离为AA'=(a+1)
∴AC'(a+2)
当△AB'C'与△AA'B'相似时,只有当△AB'C'∽△AA'B'
∴AB'2=AA'×AC'=5(a+1)(a+2)
过点B'作AA'的平行线,交原抛物线于点D,连接AD,
由平移知四边形ADB'A'为平行四边形,点D的纵坐标为2a+2
设点D的横坐标为m,则点B'坐标为(m+a+1,0)
∴AB'2=(m+a+2)2=5(a+1)(a+2),①
将点D(m,2a+2)代入y= x2﹣x﹣2得
﹣﹣2=2a+2,②
联立①②,解得:a= ,
m2﹣9m+15=0,
∴m= ,或m=(舍)
∴a═=
∴点A′的横坐标为 .
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【题目】关于二次函数,以下结论:①抛物线交轴有两个不同的交点;②不论取何值,抛物线总是经过一个定点;③设抛物线交轴于、两点,若,则;④抛物线的顶点在图象上;⑤抛物线交轴于点,若是等腰三角形,则,,.其中正确的序号是( )
A. ①②⑤ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ②④
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【题目】山地自行车越来越受到中学生的喜爱,各种品牌相继投放市场,某车行经营的A型车1月份销售总额为50000元,2月份销售总额将比1月份减少20%,每辆销售价比1月份降低400元,若这两个月卖出的数量相同。
(1)求2月份A型车每辆售价多少元?
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,求销售这批车获得的最大利润是多少元?
A、B两种型号车今年的进货和销售价格表:
A型车 | B型车 | |
进货价格(元) | 1100 | 1400 |
销售价格(元) | 2月份的销售价格 | 2000 |
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y= -2x和反比例函数的图象交于A(a,-4),B两点。过原点O的另一条直线l与双曲线交于点P,Q两点(P点在第二象限),若以点A,B,P,Q为顶点的四边形面积为24,则点P的坐标是_______
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【题目】已知一次函数y=﹣x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两(点A在点B的左侧),点P为x轴上一动点,当有且只有一个点P,使得∠APB=90°,则m的值为_____.
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【题目】△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,连接BE.
(1) 如图1,当点D在线段BC上时:
①求证:△AEB≌△ADC;②求证:四边形BCGE是平行四边形;
(2)如图2,当点D在BC的延长线上,且CD=BC时,试判断四边形BCGE是什么特殊的四边形?并说明理由.
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【题目】某超市拟于中秋节前天里销售某品牌月饼,其进价为元/.设第天的销售价格为(元/),销售量为.该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律:①当时,;当时,与满足一次函数关系,且当时,;时,.②与的关系为.
(1)当时,与的关系式为 ;
(2)为多少时,当天的销售利润(元)最大?最大利润为多少?
(3)若超市希望第天到第天的日销售利润(元)随的增大而增大,则需要在当天销售价格的基础上涨元/,求的最小值.
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