Question

【题目】尺规作图及探究：

已知：线段AB=a．

（1）完成尺规作图：

点P在线段AB所在直线上方，PA=PB，且点P到AB的距离等于，连接PA，PB，在线段AB上找到一点Q使得QB=PB，连接PQ，并直接回答∠PQB的度数；

（2）若将（1）中的条件“点P到AB的距离等于”替换为“PB取得最大值”，其余所有条件都不变，此时点P的位置记为，点Q的位置记为，连接，并直接回答∠的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析，67.5；（2）60

【解析】

（1）作线段AB的垂直平分线DE，D为垂足，在射线DE上截取DP=，连接PA，PB即可解决问题．

（2）作等边三角形P′AB即可解决问题．

解：（1）作图见图4．如图，点P即为所求．

因为：点P到AB的距离等于，PA=PB

所以：为等腰直角三角形，∠PBA=45°

∵BP=BQ，， ∴∠PQB=∠BPQ=67.5°．

（2）作图见图4， 当P′B取得最大值时，△ABP′是等边三角形，

所以是等边三角形， ∴=60°．