【题目】如图1中的三种情况所示,对于平面内的点M,点N,点P,如果将线段PM绕点P顺时针旋转90°能得到线段PN,就称点N是点M关于点P的“正矩点”.
(1)在如图2所示的平面直角坐标系中,已知
,
.
①在点P,点Q中,___________是点S关于原点O的“正矩点”;
②在S,P,Q,M这四点中选择合适的三点,使得这三点满足:
点_________是点___________关于点___________的“正矩点”,写出一种情况即可;
(2)在平面直角坐标系中,直线
与x轴交于点A,与y轴交于点B,点A关于点B的“正矩点”记为点C,坐标为
.
①当点A在x轴的正半轴上且OA小于3时,求点C的横坐标的值;
②若点C的纵坐标满足
,直接写出相应的k的取值范围.
【答案】(1)①点P;②见解析;(2)①点C的横坐标的值为-3;②
【解析】
(1)①在点P,点Q中,点OS绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP,故S关于点O的“正矩点”为点P;
②利用新定义得点S是点P关于点M的“正矩点”(答案不唯一);
(2)①利用新定义结合题意画出符合题意的图形,利用新定义的性质证明△BCF≌△AOB,则FC=OB求得点C的横坐标;
②用含k的代数式表示点C纵坐标,代入不等式求解即可.
解:(1)①在点P,点Q中,点OS绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP,故S关于点O的“正矩点”为点P,
故答案为点P;
②因为MP绕M点顺时针旋转得MS,所以点S是点P关于点M的“正矩点”,同理还可以得点Q是点P关于点S的“正矩点”.(任写一种情况就可以)
(2)①符合题意的图形如图1所示,作CE⊥x轴于点E,CF⊥y轴于点F,可得
∠BFC=∠AOB=90°.
∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴点B的坐标为在x轴的正半轴上,
∵点A关于点B的“正矩点”为点,
∴∠ABC=90°,BC=BA,
∴∠1+∠2=90°,
∵∠AOB=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3.
∴△BFC≌△AOB,
∴,
可得OE=3.
∵点A在x轴的正半轴上且,
,
∴点C的横坐标的值为-3.
②因为△BFC≌△AOB,,A在
轴正半轴上,
所以BF=OA,所以OF=OB-OF=
点,如图2, -1<
≤2,
即:-1< ≤2,
则.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点F为AC中点,⊙O经过点B,F,且与AC交于点D,与AB交于点E,与BC交于点G,连结BF,DE,弧EFG的长度为(1+)π.
(1)求⊙O的半径;
(2)若DE∥BF,且AE=a,DF=2+﹣a,请判断圆心O和直线BF的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.
(1)求证:AE=BF;
(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求EF:BF的值.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=45°,BD∥AC,BD=AB,且C,D两点位于AB所在直线两侧,射线AD上的点E满足∠ABE=60°.
(1)∠AEB=___________°;
(2)图中与AC相等的线段是_____________,证明此结论只需证明△________≌△_______.
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【题目】尺规作图及探究:
已知:线段AB=a.
(1)完成尺规作图:
点P在线段AB所在直线上方,PA=PB,且点P到AB的距离等于,连接PA,PB,在线段AB上找到一点Q使得QB=PB,连接PQ,并直接回答∠PQB的度数;
(2)若将(1)中的条件“点P到AB的距离等于”替换为“PB取得最大值”,其余所有条件都不变,此时点P的位置记为
,点Q的位置记为
,连接
,并直接回答∠
的度数.
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【题目】如图,(图1,图2),四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在线段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F,交BC的延长线于点N, FN⊥BC.
(1)若点E是BC的中点(如图1),AE与EF相等吗?
(2)点E在BC间运动时(如图2),设BE=x,△ECF的面积为y。
①求y与x的函数关系式;
②当x取何值时,y有最大值,并求出这个最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,一只电子狗从原点O出发,按向上→向右→向下→向下→向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位长度,其行走路线如图所示,则A2018的坐标为( )
A.(337,1)B.(337,﹣1)C.(673,1)D.(673,﹣1)
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【题目】我市为了提高居民燃气使用安全性,计划将居民燃气管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙两队先合作15天,那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为6000元,乙队每天的施工费用为3000元.为了缩短工期以减,少对居民使用燃气的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成,则该工程施工费用是多少元?
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