Question

【题目】如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M，点N，点P，如果将线段PM绕点P顺时针旋转90°能得到线段PN，就称点N是点M关于点P的“正矩点”．

（1）在如图2所示的平面直角坐标系中，已知，．

①在点P，点Q中，___________是点S关于原点O的“正矩点”；

②在S，P，Q，M这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：

点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可；

（2）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A关于点B的“正矩点”记为点C，坐标为．

①当点A在x轴的正半轴上且OA小于3时，求点C的横坐标的值；

②若点C的纵坐标满足，直接写出相应的k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①点P；②见解析；（2）①点C的横坐标的值为-3；②

【解析】

（1）①在点P，点Q中，点OS绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P；

②利用新定义得点S是点P关于点M的“正矩点”（答案不唯一）；

（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明△BCF≌△AOB，则FC=OB求得点C的横坐标；

②用含k的代数式表示点C纵坐标，代入不等式求解即可．

解：（1）①在点P，点Q中，点OS绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P，

故答案为点P；

②因为MP绕M点顺时针旋转得MS，所以点S是点P关于点M的“正矩点”，同理还可以得点Q是点P关于点S的“正矩点”．（任写一种情况就可以）

（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE⊥x轴于点E，CF⊥y轴于点F，可得

∠BFC=∠AOB=90°．

∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴点B的坐标为在x轴的正半轴上，

∵点A关于点B的“正矩点”为点，

∴∠ABC=90°，BC=BA，

∴∠1＋∠2=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠2＋∠3=90°，

∴∠1=∠3．

∴△BFC≌△AOB，

∴，

可得OE＝3．

∵点A在x轴的正半轴上且，

，

∴点C的横坐标的值为－3．

②因为△BFC≌△AOB，，A在轴正半轴上，

所以BF＝OA，所以OF＝OB-OF＝

点，如图2， -1＜≤2，

即：-1＜ ≤2，

则．