Question

【题目】如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．

（1）求证：AE＝BF；

（2）已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求EF：BF的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据正方形的性质得到BA＝AD，∠BAD＝90°，再根据DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，等量代换得到∠ABF＝∠DAE，即可证明△ABF≌△DAE（AAS），利用全等三角形的性质即可得到AE＝BF；

（2）设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝2，根据四边形ABED的面积为24，列出方程即可解答．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴BA＝AD，∠BAD＝90°，

∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，

∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，

∵∠ABF＋∠BAF＝90°，∠EAD＋∠BAF＝90°，

∴∠ABF＝∠DAE，

在△ABF和△DAE中

∠BFA＝∠DEA，∠ABF＝∠EAD，AB＝DA，

∴△ABF≌△DAE（AAS），

∴BF＝AE；

（2）设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝2，

∵四边形ABED的面积为24，

∴S四边形ABED=S△ABE+S△ADE，

即xx＋x2＝24，

解得x1＝6，x2＝8（舍去），

∴EF＝x2＝4，BF=6

∴