Question

【题目】两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°）角度，如图2所示．

（1）利用图2证明AC=BD且AC⊥BD；
（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

∵∠DBO+∠GOB=90°，

∵∠OGB=∠AGE，

∴∠CAO+∠AGE=90°，

∴∠AEG=90°，

∴BD⊥AC．

（2）解：如图3中，设AC=x，

∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，

∴AC2+BC2=AB2，

∴x2+（x+17）2=252，

解得x=7，

∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，

∴∠α=∠ABC，

∴sinα=sin∠ABC= =

【解析】（1）由旋转的性质得到∠AOC=∠DOB，得到△AOC≌△BOD（SAS），得到对应边、对应角相等，即AC=BD，∠CAO=∠DBO，由角的和差和相等的角得到BD⊥AC；（2）由BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，得到△ABC是直角三角形，根据勾股定理得到x2+（x+17）2=252，求出x的值，由角的和差，得到∠α=∠ABC，即sinα=sin∠ABC=.
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)，还要掌握勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)的相关知识才是答题的关键．