Question

【题目】如图，已知△PDC是⊙O的内接三角形，CP=CD，若将△PCD绕点P顺时针旋转，当点C刚落在⊙O上的A处时，停止旋转，此时点D落在点B处．

（1）求证：PB与⊙O相切；

（2）当PD=2，∠DPC=30°时，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2．

【解析】

（1）连接OA、OP，由旋转可得：△PAB≌△PCD，再由全等三角形的性质可知AP=PC=DC，再根据∠BPA=∠DPC=∠D可得出∠BPO=90°，进而可知PB与⊙O相切；
（2）过点A作AE⊥PB，垂足为E，根据∠BPA=30°，PB=2，△PAB是等腰三角形，可得出BE=EP=，PA=2，PB与⊙O相切于点P可知∠APO=60°，故可知PA=2．

（1）证明：连接OA、OP，OC，由旋转可得：△PAB≌△PCD，

∴PA=PC=DC，

∴AP=PC=DC，∠AOP=∠POC=2∠D，∠APO=∠OAP=，

又∵∠BPA=∠DPC=∠D，

∴∠BPO=∠BPA+=90°

∴PB与⊙O相切；

（2）解：过点A作AE⊥PB，垂足为E，

∵∠BPA=30°，PB=2，△PAB是等腰三角形；

∴BE=EP=，

PA===2

又∵PB与⊙O相切于点P，

∴∠APO=60°，

∴OP=PA=2．