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【题目】如图,A是半径为6cm的⊙O上的定点,动点PA出发,以πcm/s的速度沿圆周按顺时针方向运动,当点P回到A时立即停止运动.设点P运动时间为t(s);

(1)当t=6s时,∠POA的度数是________;

(2)当t为多少时,∠POA=120°;

(3)如果点BOA延长线上的一点,且AB=AO,问t为多少时,POB为直角三角形?请说明理由.

【答案】(1)180;当点P运动的时间t4s8s时,∠POA=120°;(3)当点P运动的时间为2s3s9s10s时,△POB为直角三角形.

【解析】

(1)先根据路程=速度×时间得出当t=6s时,点P运动的路程即弧AP的长度,再根据弧长公式即可求出∠POA的度数;

(2)当∠POA=120°时,点P运动的路程为⊙O周长的,所以分两种情况进行分析;

(3)POB为直角三角形时,由于动点P沿圆周运动,所以以B为顶点的角不可能为直角,那么分∠POB=90°OPB=90°两种情况进行分析.

解:(1)设∠POA=n°,则

=6π=

∴n=180.

∠POA的度数是180.

故答案为180;

(2)当∠POA=120°时,如图,点P运动的路程为⊙O周长的(图中P1处)或(图中P2处),

设点P运动的时间为ts.

当点P运动的路程为⊙O周长的时,πt=2π6,

解得t=4;

当点P运动的路程为⊙O周长的时,πt=2π6,

解得t=8;

当点P运动的时间t4s8s时,∠POA=120°;

(3)分两种情况:

∠POB=90°时,如图,点P运动的路程为⊙O周长的(图中P1处)或(图中P2处),

设点P运动的时间为ts.

当点P运动的路程为⊙O周长的时,πt=2π6,

解得t=3;

当点P运动的路程为⊙O周长的时,πt=2π6,

解得t=9.

当点P运动的时间为3s9s时,△POB为直角三角形;

∠OPB=90°时,如图,(图中P3处)或(图中P4处),

设点P运动的时间为ts.

当点P运动P3处时,连接AP3

∵∠OP3B=90°,OA=AB,

∴AP3=OA=OP3

∴△OAP3是等边三角形,

∴∠AOP3=60°,

∴πt=2π6,

解得t=2;

当点P运动P4处时,连接AP4

∵∠OP4B=90°,OA=AB,

∴AP4=OA=OP4

∴△OAP4是等边三角形,

∴∠AOP4=60°,

∴πt=(1﹣)2π6,

解得t=10.

当点P运动的时间为2s10s时,△POB为直角三角形.

综上可知,当点P运动的时间为2s3s9s10s时,△POB为直角三角形.

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