Question

【题目】（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F． 试证明：MN∥EF．

（3）变式探究：如图3，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，过点M作MG⊥x轴，过点N作NH⊥y轴，垂足分别为E、F、G、H． 试证明：EF ∥GH．

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD，理由见解析；（2）、（3）证明见解析

【解析】

（1）分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，根据三角形的面积求出CG=DH，推出平行四边形CGDH即可；

（2）证△EMF和△NEF的面积相等，根据（1）即可推出答案

（3）利用OE·OG=OF·OH证△OEF∽△OHG，即可得出结论

（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．

∴ CG∥DH．

∵△ABC与△ABD的面积相等，

∴ CG＝DH．

∴ 四边形CGHD为平行四边形．

∴ AB∥CD．

（2）①证明：连结MF，NE．

设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）．

∵ 点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，

∴，．

∵ ME⊥y轴，NF⊥x轴，

∴ OE＝y1，OF＝x2．

∴ S△EFM＝，

S△EFN＝．

∴S△EFM＝S△EFN．

由（1）中的结论可知：MN∥EF．

（3）连接FM、EN、MN，

同（2）可证MN∥EF，

同法可证GH∥MN，

故EF ∥GH．