Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10．求CE的长度．

Answer 1

考点：正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BMG，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE²=AD²+DE²求x的值，可以求CE的长度．

解答：解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG=CE，连接BG，
易知四边形BCDM是正方形，
则△BEC与△BGM中，

BC=BM ∠C=∠BMG=90° EC=GM

，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴∠MBG=∠CBE，BE=BG，
∵∠ABE=45°，
∴∠CBE+∠ABM=∠MBG+∠ABM=45°，
即∠ABE=∠ABG=45°，
在△ABE与△ABG中，

BE=BG ∠ABE=∠ABG AB=AB

，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AG=AE=10，
设CE=x，则AM=10-x，
AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²，
∴100=（x+2）²+（12-x）²，
即x²-10x+24=0；
解得：x₁=4，x₂=6．
故CE的长为4或6．

点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，本题中求△ABE≌△ABG即AG=AE=10是解题的关键．