Question

如图，一次函数y=x+m的图象经过点A（-2，0），交y轴于点D，对称轴为x=1的抛物线与x轴相交于点A、B，并与直线AD相交于点C，连接BD、BC，有∠OBD=∠BCD．
（1）求点B、C、D的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使∠ACP为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由A的坐标和对称轴即可求得B的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求得m的值即可求得D的坐标，然后通过△ABD∽△ACB和平行线分线段成比例定理即可求得C的坐标；
（2）把A、B、C的坐标代入解析式，根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（3）过C点作CF⊥AC，交x轴于F，根据等腰直角三角形求得F的坐标，然后根据待定系数法求得直线CF的解析式，然后和抛物线的解析式联立方程，即可求得P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴相交于点A、B，且对称轴为x=1，A（-2，0），
∴B的坐标为（4，0），
∴AB=2+4=6，
∵一次函数y=x+m的图象经过点A（-2，0），
∴-2+m=0，解得m=2，
∴D的坐标为（0，2），
∴AD=

OA2+OD2

=

22+22

=2

2

，
在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠BCA，∠DAB=∠BAC，
∴△ABD∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AB

AD

，
∴AC=

6×6

2 2

=9

2

，
作CE∥y轴，
∴

AE

OA

=

CE

OD

=

AC

AD

=

9 2

2 2

=

9

2

，
∴AE=

2×9

2

=9，CE=

2×9

2

=9，
∴OE=AE-OA=7，
∴C的坐标为（7，9）；

（2）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象过A（-2，0），B（4，0），C（7，9），
∴

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 49a+7b+c=9

，解得

a= 1 3 b=- 2 3 c=- 8 3

，
∴抛物线的函数解析式为y=

1

3

x²-

2

3

x-

8

3

．

（3）存在；
过C点作CF⊥AC，交x轴于F，
∴OA=OD=2，
∴∠CAF=45°，
∴△CAF是等腰直角三角形，
∴AE=EF=9，
∴F的坐标（16，0），
设直线CF的函数解析式为y=kx+b，
∴

7k+b=9 16k+b=0

，解得

k=-1 b=16

，
∴直线CF的函数解析式为y=-x+16，
解

y=-x+16 y= 1 3 x2- 2 3 x- 8 3

，得

x=7 y=9

或

x=-8 y=24

，
∴P的坐标为（-8，24）．
所以抛物线上存在点P，使∠ACP为直角，此时P的坐标为（-8，24）．

点评：本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是应用待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．